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普林姆算法

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普里姆算法Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的子集所构成的中,不但包括了连通图里的所有顶点英语Vertex (graph theory),且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克英语Vojtěch Jarník发现;并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆英语Robert C. Prim独立发现;1959年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此,在某些场合,普里姆算法又被称为DJP算法亚尔尼克算法普里姆-亚尔尼克算法

描述[编辑]

从单一顶点开始,普里姆算法按照以下步骤逐步扩大树中所含顶点的数目,直到遍及连通图的所有顶点。

  1. 输入:一个加权连通图,其中顶点集合为V,边集合为E;
  2. 初始化:Vnew = {x},其中x为集合V中的任一节点(起始点),Enew = {};
  3. 重复下列操作,直到Vnew = V:
    1. 在集合E中选取权值最小的边(u, v),其中u为集合Vnew中的元素,而v则是V中没有加入Vnew的顶点(如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边,则可任意选取其中之一);
    2. 将v加入集合Vnew中,将(u, v)加入集合Enew中;
  4. 输出:使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

时间复杂度[编辑]

最小边、权的数据结构 时间复杂度(总计)
邻接矩阵、搜索 O(V2)
二叉堆(后文伪代码中使用的数据结构)、邻接表 O((V + E) log(V)) = O(E log(V))
斐波那契堆邻接表 O(E + V log(V))

通过邻接矩阵图表示的简易实现中,找到所有最小权边共需OV2)的运行时间。使用简单的二叉堆邻接表来表示的话,普里姆算法的运行时间则可缩减为O(E log V),其中E为连通图的边数,V为顶点数。如果使用较为复杂的斐波那契堆,则可将运行时间进一步缩短为O(E + V log V),这在连通图足够密集时(当E满足ΩV log V)条件时),可较显著地提高运行速度。

例示[编辑]

图例 说明 不可选 可选 已选
Prim Algorithm 0.svg 此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 - - -
Prim Algorithm 1.svg 顶点D被任意选为起始点。顶点ABEF通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点,因此将A及对应边AD以高亮表示。 C, G A, B, E, F D
Prim Algorithm 2.svg 下一个顶点为距离DA最近的顶点。BD为9,距A为7,E为15,F为6。因此,FDA最近,因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 C, G B, E, F A, D
Prim Algorithm 3.svg 算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 C B, E, G A, D, F
Prim Algorithm 4.svg 在当前情况下,可以在CEG间进行选择。CB为8,EB为7,GF为11。E最近,因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 C, E, G A, D, F, B
Prim Algorithm 5.svg 这里,可供选择的顶点只有CGCE为5,GE为9,故选取C,并与边EC一同高亮表示。 C, G A, D, F, B, E
Prim Algorithm 6.svg 顶点G是唯一剩下的顶点,它距F为11,距E为9,E最近,故高亮表示G及相应边EG G A, D, F, B, E, C
Prim Algorithm 7.svg 现在,所有顶点均已被选取,图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中,最小生成树的权值之和为39。 A, D, F, B, E, C, G

证明[编辑]

设prim生成的树为G0

假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0)

则在Gmin中存在(u,v)不属于G0

将(u,v)加入G0中可得一个环,且(u,v)是该环的最长边

这与prim每次生成最短边矛盾

故假设不成立,得证.

各語言程序代码[编辑]

Pascal語言程序[编辑]

部分主程序段:

procedure prim(v0:integer);
var
   lowcost,closest:array[1..maxn] of integer;
   i,j,k,min,ans:integer;
begin
   for i:=1 to n do
    begin
     lowcost[i]:=cost[v0,i];
     closest[i]:=v0;
   end;
   for i:=1 to n-1 do
     begin
      min:=maxint;
      for j:=1 to n do
         if (lowcost[j]<min) and (lowcost[j]<>0) then
          begin
            min:=lowcost[j];
            k:=j;
         end;
      inc(ans, lowcost[k]);
      lowcost[k]:=0;
      for j:=1 to n do
         if cost[k,j]<lowcost[j] then
          begin
            lowcost[j]:=cost[k,j];
            closest[j]:=k;
         end;
   end;
 writeln(ans);
end;


c语言代码[编辑]

void MiniSpanTree_PRIM (MGraph G,VertexType u)
{
	/*用普利姆算法从第u个顶点出发构造网G 的最小生成树T,输出T的各条边。
	* 记录从顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义:
	* struct
	  {
			VertexType adjvex;
			VRtype lowcost;
	 }closedge[MAX_VERTEX_NUM];
	*/
	k = LocateVex ( G , u );
	for (j= 0 ;j<G.vexnum; j++)   //辅助数组初始化
	{
		if (j!=k)
			closedge[j] = {u,G.arcs[k][j].adj};//{adjvex,lowcost}
	}
	closedge[k].lowcost = 0 ;           //初始,U={u}
	for( i=1; i<G.vexnum ;i++)          //选择其余G.vexnum -1 个顶点
	{
		k = minimum(closedge);                               //求出T的下个结点:第k结点
		
		/*此时 closedge[k].lowcost = MIN{ closedge[Vi].lowcost|closedge[Vi].lowcost>0,Vi∈V-U}
		*/
		printf(closedge[k].adjvex,G.vexs[k]);               //输出生成树的边
		closedge[k].lowcost = 0;                           //第k条边并入U集
		for ( j=0;j<G.vexnum ;j++)
		{
			if ( G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost)    //新顶点并入U后重新选择最小边
			closedge[j] = {G.vex[k],G.arcs[k][j].adj};
		}
	}
}

Java语言实现[编辑]

import java.util.ArrayList;
import java.util.Iterator;
import java.util.List;

public class Prim {

	public static List<Vertex> vertexList = new ArrayList<Vertex>();//结点集
	public static List<Edge> EdgeQueue = new ArrayList<Edge>();//边集
	public static List<Vertex> newVertex = new ArrayList<Vertex>();//已经 访问过的结点
	
	public static void main(String[] args) {
		primTree();

	}
	public static void buildGraph() {
		Vertex v1 = new Vertex("a");
		Prim.vertexList.add(v1);
		Vertex v2 = new Vertex("b");
		Prim.vertexList.add(v2);
		Vertex v3 = new Vertex("c");
		Prim.vertexList.add(v3);
		Vertex v4 = new Vertex("d");
		Prim.vertexList.add(v4);
		Vertex v5 = new Vertex("e");
		Prim.vertexList.add(v5);
		addEdge(v1, v2, 6);
		addEdge(v1, v3, 7);
		addEdge(v2, v3, 8);
		addEdge(v2, v5, 4);
		addEdge(v2, v4, 5);
		addEdge(v3, v4, 3);
		addEdge(v3, v5, 9);
		addEdge(v5, v4, 7);
		addEdge(v5, v1, 2);
		addEdge(v4, v2, 2);
	}
	public static void addEdge(Vertex a, Vertex b, int w) {
		Edge e = new Edge(a, b, w);
		Prim.EdgeQueue.add(e);
	}
	public static void primTree(){
		buildGraph();
		Vertex start = vertexList.get(0);
		newVertex.add(start);
		for(int n=0;n<vertexList.size()-1;n++){
			Vertex temp = new Vertex(start.key);
			Edge tempedge = new Edge(start,start,1000);
			for(Vertex v : newVertex){
				for(Edge e : EdgeQueue){
					if(e.start==v && !containVertex(e.end)){
						if(e.key<tempedge.key){
							temp = e.end;
							tempedge = e;
						}
							
						
					}
				}
			}
			newVertex.add(temp);
		}
		Iterator it = newVertex.iterator();
		while(it.hasNext()){
			Vertex v =(Vertex) it.next();
			System.out.println(v.key);
		}
	}
	public static boolean containVertex(Vertex vte){
		for(Vertex v : newVertex){
			if(v.key.equals(vte.key))
				return true;
		}
		return false;
	}
}
class Vertex {
	String key;
	Vertex(String key){
		this.key = key;
	}
}

class Edge{
	Vertex start;
	Vertex end;
	int key;
	Edge(Vertex start,Vertex end,int key){
		this.start = start;
		this.end  = end;
		this.key = key;
		
	}
}

參考[编辑]

普林演算法與迪科斯彻演算法的策略相似。