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最短路问题

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一个有6个节点和7条边的图

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括:

  • 确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点,求最短路径的问题。适合使用Dijkstra算法
  • 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同,在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
  • 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径。
  • 全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”,有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有:

单源最短路径算法[编辑]

无向图[编辑]

权值要求 时间复杂度 作者
+ Dijkstra 1959
+ Johnson 1977 (二叉堆)
+ Fredman & Tarjan 1984 (斐波那契堆)
Thorup 1999 (要求常数时间复杂度的乘法)。

无权图[编辑]

算法 时间复杂度 作者
深度优先搜索

有向无环图[编辑]

使用拓扑排序算法可以在有权值的DAG中以线性时间()求解单源最短路径问题。

无负权的有向图[编辑]

假设边缘权重均为整数。

算法 时间复杂度 作者
O(V 2EL) Ford 1956
Bellman–Ford 算法 O(VE) Shimbel 1955, Bellman 1958, Moore 1959
O(V 2 log V) Dantzig 1960
Dijkstra's 算法(列表) O(V 2) Leyzorek et al. 1957, Dijkstra 1959, Minty (see Pollack & Wiebenson 1960), Whiting & Hillier 1960
Dijkstra's 算法(二叉堆) O((E + V) log V) Johnson 1977
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Dijkstra's 算法(斐波那契堆) O(E + V log V) Fredman & Tarjan 1984, Fredman & Tarjan 1987
O(E log log L) Johnson 1981, Karlsson & Poblete 1983
Gabow's 算法 O(E logE/V L) Gabow 1983, Gabow 1985
Ahuja et al. 1990
Thorup O(E + V log log V) Thorup 2004