品質因子

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
一阻尼諧振子的頻寬, \Delta f可以用頻率和能量的圖來表示。阻尼諧振子(或濾波器)的Q因子為f_0/\Delta f。Q因子越大,其波峰高度會越高,而其寬度會越窄

品质因子Q因子物理工程中的無因次參數,是表示振子阻尼性质的物理量[1],也可表示振子的共振頻率相對於頻寬的大小[2], 高Q因子表示振子能量損失的速率較慢,振動可持續較長的時間,例如一個單擺在空氣中運動,其Q因子較高,而在油中運動的單擺Q因子較低。高Q因子的振子一般其阻尼也較小。

說明[编辑]

Q因子較高的振子在共振時,在共振頻率附近的振幅較大,但會產生的共振的頻率範圍比較小,此頻率範圍可以稱為頻寬。例如一台無線電接收器內的調諧電路Q因子較高,要調整接收器對準一特定頻率會比較困難,但其選擇性英语selectivity (electronic)較好,在過濾頻譜上鄰近電台的訊號上也有較佳的效果。Q因子較高的振子會產生共振的頻率範圍較小,也比較穩定。

系統的Q因子可能會隨著應用場合及需求的不同而有大幅的差異。強調阻尼特性的系統(例如防止門突然關閉的阻尼器)其Q因子為12,而時鐘、雷射或是其他需要強烈共振或是要求頻率穩定性的系統其Q因子也較高。音叉的Q因子大約為1000,原子鐘、加速器中的超導射頻英语Superconducting Radio Frequency或是光學共振腔英语optical cavity的Q因子可以到1011[3]甚至更高[4]

Q因子的概念是來自電子工程中,評量一調諧電路或其他振子的「品質」。

定義[编辑]

Q因子可定義為在一系統的共振頻率下,當信號振幅不隨時間變化時,系統儲存能量和每個週期外界所提供能量的比例(此時系統儲存能量也不隨時間變化):


Q = 2 \pi \times \frac{\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Energy dissipated per cycle}} = 2 \pi f_r \times \frac{\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}. \,

大部份的共振系統都可以用二階的微分方程表示,Q因子中2π的係數,使Q因子可以表示成只和二階微分方程係數有關的較簡單型式。在電機系統中,能量會儲存在理想無損失的電感電容中,損失的能量則是每個週期由電阻損失能量的總和。力學系統儲存的能量是該時間動能位能的和,損失的能量則是因為摩擦力或阻力所消耗的能量。

針對高Q因子的系統,也可以用下式計算的Q因子,在數學上也是準確的:

Q = \frac{f_r}{\Delta f} = \frac{\omega_r}{\Delta \omega}, \,

其中fr為共振頻率,Δf為頻寬,ωr = 2πfr是以角頻率表示的共振頻率,Δω是以角頻率表示的頻寬

在像電感等儲能元件的規格中,會用到和頻率有關的Q因子,其定義如下[5]


Q(\omega) = \omega \times \frac{\mbox{Maximum Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}, \,

其中ω是計算儲存能量和功率損失時的角頻率。若電路中只有一個儲能元件(電感或是電容),也可用上式來定義Q因子,此時Q因子會等於无功功率相對實功功率的比例。

Q因子及阻尼[编辑]

Q因子可決定一個簡單阻尼諧振子的量化特性(有關數學的細節及不同系統的行為,請參考諧振子线性时不变系统理论等條目)。

  • 低Q因子的系統(Q < ½)是過阻尼系統。過阻尼系統不會振盪,當偏離穩態輸出平衡點時,會以指數衰減的方式,漸近式的回到穩態輸出。其冲激响应是二個不同速度的指數衰減函數的和。當Q因子減少時,衰減較慢的響應函數其影響會變明顯,因此整個系統會變慢。一個Q因子很低的二階系統其步階響應類似一階系統。
  • 高Q因子的系統(Q > ½)是欠阻尼系統。欠阻尼系統在特定頻率的輸入下,其輸出會振盪,其振幅也會指數衰減。Q因子略高於½的系統可能會振盪一或二次。若Q因子提高,阻尼的效果也會降低。高品質的鐘在敲擊後可以長時間發出單一音調的聲音,沒有阻尼的諧振系統其Q因子是無限大,類似一個敲擊後可永遠發出聲音的鐘。若二階低通濾波器有很高的Q因子,其步階響應一開始會快速上昇,在平衡點附近震盪,最後才收斂到穩態的值。
  • Q因子為½的系統是臨界阻尼系統。臨界阻尼系統和過阻尼系統一様不會震盪,也不會有过冲的情形。臨界阻尼系統和欠阻尼系統一様,會對階躍有快速的響應,臨界阻尼可以使系統在不过冲的條件下有最快的反應,實際的系統若要求更快的反應,一般會允許一定程度的过冲,若系統不允許过冲,可能會使反應時間放慢,以提供一定的安全係數

負回授系統中,閉回路系統的響應常常用二階系統來表示。設定開迴路系統的相位裕度英语phase margin可以決定閉回路系統的Q因子,當相位裕度減少時,對應的二階閉回路系統振盪會變大,也就是Q因子提高。

常見系統的Q因子[编辑]

Q因子的物理意涵[编辑]

根據物理學,Q因子等於2\pi乘以系統儲存的總能量,除以單一周期損失的能量,也可以表示為系統儲存的總能量和單位弳度損失能量的的比值。[7]

Q因子是無因次的參數,是比較系統振幅衰減的時間常數和振盪週期後的結果。當Q因子數值較大時,Q因子可近似為系統從開始振盪起,一直到其能量剩下原來的 1/e^{2\pi}(約1/535或0.2%),中間歷經的振盪次數[8]

共振的頻寬可以用下式表示


\Delta f = \frac{f_0}{Q} \,
,

其中f_0共振頻率\Delta f頻寬,也就是能量超過峰值能量一半以上的頻率範圍。

Q因子、阻尼比ζ及衰減率英语attenuationα之間有以下的關係[9]


\zeta = \frac{1}{2 Q} = { \alpha \over \omega_0 }.

因此Q因子可表示為


Q = \frac{1}{2 \zeta} = { \omega_0 \over 2 \alpha },

而指數衰減率可表示為


\alpha = \zeta \omega_0 = { \omega_0 \over 2 Q }.

二階低通濾波器的響應函數可以用下式來表示[9]


H(s) = \frac{ \omega_0^2 }{ s^2 + \underbrace{ \frac{ \omega_0 }{Q} }_{2 \zeta \omega_0 = 2 \alpha }s + \omega_0^2 } \,

若此系統的Q > 0.5(欠阻尼系統),系統有二個共軛複數極點,其實部\alpha。衰減參數\alpha表示其冲激响应指數衰減的速率。Q因子大表示其衰減率較慢,因此Q因子很大的系統可以持續振盪較長的時間。例如高Q因子的鐘,用鎚子敲擊後,其輸出近似純音,且可以維持很長的時間。

電子系統[编辑]

濾波器振幅增益的圖,其中標示頻寬為增益值為-3 dB的寬度,增益約為0.707倍,能量是峰值的一半。圖中的頻率軸可以是線性尺度或是對數尺度。

對電子共振系統而言,Q因子表示電阻的影響,若針對機電共振系統(例如石英晶体谐振器),也包括摩擦力的影響。

RLC電路[编辑]

理想串聯RLC電路的Q因子為:


Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} \,

其中RLC分別是電路的電阻電感電容,若電阻值越大,Q因子越小。

並聯RLC電路的Q因子恰為對應串聯電路Q因子的倒數:[10]


Q = R \sqrt{\frac{C}{L}} \,

若將電阻、電感和電容並聯形成一電路,並聯電阻值越小,其阻尼的效果越大,因此Q因子越小。

若是電感和電容並聯的電路,而主要損失是電感內,和電感串聯的電阻R,其Q因子和串聯RLC電路相同,此時降低寄生電阻R可以提昇Q因子,也使頻寬縮小到需要的範圍內。

儲存元件[编辑]

個別儲存元件的Q因子和對應信號頻率有關,一般是電路的共振頻率。電感器的Q因子為[11]

Q=\frac{X_L}{R_L}=\frac{\omega L}{R_L}

其中:

  • \omega為頻率。
  • L為電感。
  • X_L為電感器的感抗
  • R_L為電感內的電阻。


電容器的Q因子為[11]

Q=\frac{X_C}{R_C}=\frac{1}{\omega C R_C}

Where:

  • \omega為頻率。
  • C為電容。
  • X_C為電容器的容抗
  • R_C為電容內的電阻。

力學系統[编辑]

對於一個有阻尼的質量-彈簧系統,可以用Q因子表示簡化的黏滯阻尼或阻力對系統的影響,其中的阻尼力(或阻力)和速度成正比。此系統的Q因子可以用下式表示:


Q = \frac{\sqrt{M k}}{D}, \,

其中M是質量,k是弹簧常数,而D是阻力係數,可用下式來定義:

F_{\text{damping}}=-Dv

其中F_{\text{damping}}是阻力,v是速度[12]

雷射系統[编辑]

雷射系統中,光學共振腔的Q因子可以用下式表示


Q = \frac{2\pi f_o\,\mathcal{E}}{P}, \,

其中f_o為共振頻率,\mathcal{E}為共振腔中儲存的能量,P=-\frac{dE}{dt}為耗散的能量。光學共振腔的Q因子等於共振頻率和共振腔頻寬的比值。共振光子的平均壽命和Q因子成正比,若雷射共振腔中的Q因子突然地調高,共振腔會輸出雷射脈衝,其強度遠高於平常共振腔連結輸出的強度,此技術稱為為Q切換

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ James H. Harlow. Electric power transformer engineering. CRC Press. 2004: 2–216. ISBN 978-0-8493-1704-0. 
  2. ^ Michael H. Tooley. Electronic circuits: fundamentals and applications. Newnes. 2006: 77–78. ISBN 978-0-7506-6923-8. 
  3. ^ Encyclopedia of Laser Physics and Technology:Q factor
  4. ^ Time and Frequency from A to Z: Q to Ra
  5. ^ James W. Nilsson. Electric Circuits. 1989. ISBN 0-201-17288-7. 
  6. ^ http://opencourseware.kfupm.edu.sa/colleges/ces/ee/ee303/files%5C5-Projects_Sample_Project3.pdf
  7. ^ Jackson, R. Novel Sensors and Sensing. Bristol: Institute of Physics Pub. 2004: 28. ISBN 0-7503-0989-X. 
  8. ^ Benjamin Crowell. Vibrations and Waves. Light and Matter online text series. 2006. , Ch.2
  9. ^ 9.0 9.1 William McC. Siebert. Circuits, Signals, and Systems. MIT Press. 
  10. ^ [1]
  11. ^ 11.0 11.1 [2]
  12. ^ Methods of Experimental Physics – Lecture 5: Fourier Transforms and Differential Equations