射影定理

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射影定理(在台灣被稱為「母子相似定理」)(英語:Geometric Mean Theorem),又稱歐幾里得定理(英語:Euclid's theorem),是平面幾何中的一個定理。這個定理指出,在一個直角三角形中,一條直角邊的平方,相等於三角形的斜邊,乘以該邊在斜邊上的正投影[1]這個定理出現在歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中,是第 47 個命題畢氏定理證明過程的一部分。[2]

定理內容[编辑]

ΔABC 中,C = 90°,以及 CDABADBD 分別是 ACBC 在底邊 AB 的正投影。

ΔABC 中,C = 90°。設 CDAB 的上的高,則有:

在這裡,ADBD 分別是 ACBC 在底邊 AB正投影,故定理以此為名。

證明[编辑]

注意到 ΔABCΔACD相似三角形。因此可得

整理可得

同理,考慮相似三角形 ΔABCΔCBD,可得

整理可得

證明完畢。

相關定理[编辑]

直角三角形面積[编辑]

在上面的 ΔABC 中,我們有:

考慮三角形的面積,即可容易地證明。

勾股定理[编辑]

勾股定理,是歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中的第 47 個命題。[2]這個定理指出:

勾股定理與射影定理有密切關係。事實上,在《幾何原本》中,射影定理正是該證明過程的一部分。從射影定理可知:

將兩條等式相加,則可得:

由於 AD + BD = AB,因此可得:

證明完畢。

幾何平均定理[编辑]

幾何平均定理英语Geometric mean theorem,是在《幾何原本》第六卷中的第 8 個命題。[3]這個定理指出:

也就是說,CDADBD幾何平均

與射影定理一樣,幾何平均定理可從相似三角形得證。

一般三角形的情況[编辑]

邊長 ab 在底邊 c 的正投影,分別是 a cos βb cos α

對於 C ≠ 90° 的情況,三角形邊長的正投影可用餘弦求得:

以上結果從餘弦的定義直接可得。

把上面兩式相加,即可得:

以上公式,又被稱為「第一餘弦定理」。[4]然而,一般「餘弦定理」所指的,是另一條定理(「第二餘弦定理」),詳見餘弦定理

三維空間上的推廣[编辑]

三直角四面體[编辑]

一個四面體。若構成頂點的三個面角皆為直角,則這是一個三直角四面體。

射影定理在三維空間上,也有相應的推廣。設三直角四面體英语Trirectangular tetrahedron ABCD 中,ADB = ∠ADC = ∠BDC = 90°。又設 D 在斜面 ΔABC正投影E。我們則有:

其中 ABC] 表示 ΔABC面積

把以上三條等式相加,則可得德古阿定理

德古阿定理可以視為畢氏定理在三維空間上的其中一種推廣。[5]

一般四面體[编辑]

四面體 ABCD 中,設 ΔABC 為底面。又設 DΔABC正投影E。我們則有:

其中 αβγ 分別是 ADBDCD 與底面 ΔABC 的夾角。

另外亦有:

其中 θϕψ 分別是 ΔABDΔACDΔBCD 與底面 ΔABC 的夾角。

將上面三條等式相加,可得:

是上面提到「第一餘弦定理」的三維推廣。

任意圖形的投影[编辑]

更進一步地說,面積為 S 的任意平面圖形,在底面的正投影的面積 Sproj,都可用餘弦求得:

其中 θ 是該平面圖形與底面的夾角。

參考資料[编辑]

  1. ^ 曹才翰 主編; 沈復興, 孫瑞清, 餘炯沛等 副編. 《中國中學教學百科全書 • 數學卷》. 瀋陽出版社. 1991. ISBN 9787805564241. 
  2. ^ 2.0 2.1 Euclid. Proposition 47, Element, Book I. c 300 BC. 
  3. ^ Euclid. Proposition 8, Element, Book VI. c 300 BC. 
  4. ^ 中原晴彦. エジプト人のための三角比入門 (PDF). 順天サイエンスライブラリー. 2003. 
  5. ^ Sergio A. Alvarez. Note on an n-dimensional Pythagorean theorem (PDF). Center for Nonlinear Analysis and Department of Mathematical Sciences, Carnegie Mellon University. 

參見[编辑]