平分線

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用直尺和圆规作出角平分线

平分線是一條能將一條線段二等分的線。

角平分線是將兩條線相交所夾的角二等分的線。

角平分线的性质[编辑]

性质[编辑]

角平分线是一条特殊的射线,它具有以下重要性质:

角平分线上的任意一点,到角两边的距离相等。

即如图所示:

OM平分{\angle}AOB,POM上一点,PE{\perp}OAE,PF{\perp}OBF,

PE=PF.

Geo AngleBesector.PNG

该性质的证明[编辑]

利用三角形全等,可以很容易推得此结论。

下面作一下简单推导。

{\because\quad}OM平分{\angle}AOB,

{\therefore\quad\angle}POE={\angle}POF.

{\because\quad}PE{\perp}OA,\;PF{\perp}OB,

{\therefore\quad\angle}OEP={\angle}OFP=90^{\circ}.

{\triangle}OEP{\triangle}OFP,

\begin{cases}
{\angle}OEP={\angle}OFP, \\
{\angle}POE={\angle}POF, \\
OP=OP,
\end{cases}

{\therefore\quad\triangle}OEP{\;\cong\triangle}OFP(AAS).

{\therefore\quad}PE=PF.

证毕。

角平分线的判定[编辑]

判定[编辑]

与其性质相对应的,就是角平分线的判定:

到角两边距离相等的点,在角平分线上。

即:

已知{\angle}AOB,POM上一点,\;PE{\perp}OA,\;PF{\perp}OB.

如果PE=PF,那么OM平分{\angle}AOB.

Geo AngleBesector.PNG

证明[编辑]

{\because\quad}PE{\perp}OA,\;PF{\perp}OB,

{\therefore\quad\angle}OEP={\angle}OFP=90^{\circ}.

\mathrm{Rt}{\triangle}OEP\mathrm{Rt}{\triangle}OFP,

\begin{cases}
OP=OP, \\
PE=PF,
\end{cases}

{\therefore\quad}\mathrm{Rt}{\triangle}OEP\;{\cong}\mathrm{Rt}{\triangle}OFP(\mathrm{HL}).

{\therefore\quad\angle}POE={\angle}POF,

{\therefore\quad}OM平分{\angle}AOB.

证毕。

參見[编辑]