復活節計算表冊

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一個來自瑞典的表,用來計算1140年至1671年的復活節日期

確定復活節日期中世紀早期稱為computus(拉丁文中的計算)。其規則是復活節的日期是在3月21日當日或之後的滿月日後的首個星期日。天主教教会設計了方法去定一個「天主教的月」,而不像猶太人般觀察真正的月亮。

歷史[编辑]

基督教會在二世紀開始,出現兩個紀念耶穌復活的日期:東方的小亞細亞教會,遵循耶穌的使徒的遺傳,於是在猶太人的逾越節,即是猶太曆尼散月十四日,紀念耶穌的受難和復活,表明逾越節羔羊預表耶穌。(哥林多前書5:7)至於以羅馬教會為代表的西方教會,就在逾越節後的星期日紀念耶穌的復活。從二世紀後期開始,這項分歧引致教會間很大紛爭。後來在325年第一次尼西亞會議,決定不按猶太曆法,而按照春分月圓,自行計算出復活節日期。(但是所謂「春分」是固定於西曆3月21日。)此後教會為了定出從西曆計算月亮周期的方法,不依賴於天文觀察,各地先後提出多種方法,歷時數個世紀,才定出各地教會共用的計算表冊和方法。

理論[编辑]

由於猶太曆是陰曆,基督教會捨棄依從猶太曆的傳統時,便造出自己的陰曆取代。每29或30日合為一個陰曆月(如果包含2月29日則有31日),在3月結束的陰曆月有30日,在4月結束者有29日,如此長短相間。12個陰曆月比陽曆年短11日,兩者的差距稱為閏餘(epact),陽曆日期加上閏餘得出陰曆月的日期。閏餘每年增加11日,達到30日或以上則減去30,設一個30日的閏月。每19年的默冬週期應剛好等於235個陰曆月,閏餘應以19年為一週期,但是19年的閏餘累積為29日,於是在儒略曆中將最後一年7月1日開始的陰曆月由本來30日減去1日,又在19年中加入7個各30日的閏月,分別開始於在第2年12月3日,第5年9月2日,第8年3月6日,第10年12月4日,第13年11月2日,第16年8月2日,第19年3月5日。一年在默冬週期中的位置稱為黃金數,算式是年份除以19的餘數加1。陰曆月第14日定為形式上的望日。望日在3月21日或之後的第一個陰曆月是復活節月,復活節是此陰曆月第14日之後第一個週日。

表列法[编辑]

格里曆[编辑]

由於1582年格里曆改革主要原因,在於當時的復活節計算法已遠離真正的春分和滿月,在推出新曆法時也推行了新的復活節計算法。將全年365日列出,再用遞減的羅馬數字標記各日,1月1日標記為「*」(0或30),1月2日為「xxix」(29),直到「i」,然後再重複至年末,但每偶數週期只有29日,需將標記為「xxv」的日子也標為「xxiv」。最後每個30日週期中將標記為「xxv」的日子加上標記「25」,每個29日週期中將標為「xxvi」的日子加上標記「25」。然後用「A」至「G」為每日標記,一年第一個週日的字母是這年的主日字母,例如如果1月5日是星期日,這年的主日字母是「E」,但是閏年有兩個主日字母,第一個是1至2月,第二個(提前一字母)是3月以後。每個陰曆月的朔日是和閏餘相同的羅馬數字日子。然而,由於默冬週期中,相隔11年的兩個年份閏餘相差1日,如果這兩年閏餘分別是24和25,那麼這兩年的朔日都會一樣,顯得不太優美,因此黃金數大於11而閏餘是25的年份,朔日改在標記為「25」的日子。格里曆每400年減去3個閏年,但是為免影響默冬週期,因此這三年將閏餘減1以修正(solar equation,equation按古代意思解作修正差異);不過,19個未改正的儒略年比235個朔望月略長,每310年差距累積到一日,故此每2500(格里)年中,須8次將閏餘加1以修正(lunar equation),修正在世紀年進行,每兩次修正相隔300年,但每8次修正後隔400年再開始,第一次在1800年,下一次在2100年。這兩種修正有時互相抵消,如1800年和2100年即是。格里曆改革後黃金數方法被閏餘方法取代,但可以編制出兩者關係的簡化表格,有效期由一至三個世紀不等。以下的閏餘表對1900年至2199年適用。黃金數的算法為年份除以19的餘數再加1,如2014年除以19的餘數為0,故此2014黃金數是1。

黃金數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
閏餘 29 10 21 2 13 24 5 16 27 8 19 * 11 22 3 14 25 6 17
格里曆完整的5,700,000年周期復活節日期的分佈
標記 3月 主日字母 4月 主日字母
* 1 D
xxix 2 E 1 G
xxviii 3 F 2 A
xxvii 4 G 3 B
xxvi 5 A 4 C
25 6 B
xxv 5 D
xxiv 7 C
xxiii 8 D 6 E
xxii 9 E 7 F
xxi 10 F 8 G
xx 11 G 9 A
xix 12 A 10 B
xviii 13 B 11 C
xvii 14 C 12 D
xvi 15 D 13 E
xv 16 E 14 F
xiv 17 F 15 G
xiii 18 G 16 A
xii 19 A 17 B
xi 20 B 18 C
x 21 C 19 D
ix 22 D 20 E
viii 23 E 21 F
vii 24 F 22 G
vi 25 G 23 A
v 26 A 24 B
iv 27 B 25 C
iii 28 C 26 D
ii 29 D 27 E
i 30 E 28 F
* 31 F 29 G
xxix 30 A

舉例:2019年黃金數是6,閏餘是24,則標記為「xxiv」日子是朔日,3月7日和4月5日為朔日,而望日為朔日的13日後,即3月20日和4月18日。3月21日或之後的望日是4月18日。這一日之後(不包括當日)的週日是復活節。2019年的主日字母是「F」,所以4月21日是復活節。

第偶數個陰曆月只有29日,有一日需有兩個閏餘標記,而選擇移動「xxv/25」的理由可能是:在閏餘為24的年份,如果3月7日開始的陰曆月有30日,復活節月便在4月6日開始,望日在4月19日,又假設該日是週日,復活節便在下週日4月26日。但是教會規定復活節不晚於4月25日,所以4月5日便有兩個標記「xxv」「xxiv」。因此格里曆中復活節最多出現在4月19日,約3.87%,最少出現在3月22日,約0.48%。

儒略曆[编辑]

格里曆改革前西方教會使用的方法,也是東方正教會現今使用的方法,採用未改正的默冬週期,每週期開始閏餘都是0日,因此復活節望日只可能有19個。因為儒略曆不作出像格里曆的改正,每過一千年,教會陰曆的望日日期會比實際的望日推遲三日多,故此現時約有一半東正教的復活節比西方教會晚了一週。又由於儒略曆在1900年至2099年間比格里曆落後13日,格里曆的復活節望日不時在儒略曆3月21日之前,使東正教的復活節比西方教會晚了四至五週。

各地教會從4世紀開始漸漸採用此方法,931年最後一個英格蘭修道院也採用。在採用此方法前各地用其他方法定出復活節日期,相差可以達至五週。

下表是自從931年起儒略曆的復活節望日日期:

黃金數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
復活節望日 4月5日 3月25日 4月13日 4月2日 3月22日 4月10日 3月30日 4月18日 4月7日 3月27日 4月15日 4月4日 3月24日 4月12日 4月1日 3月21日 4月9日 3月29日 4月17日

例子:1573年的黃金數是16,查表得到復活節望日是3月21日。從星期表得到該日是週六,因此復活節是其後的週日3月22日。

演算法[编辑]

高斯演算法[编辑]

這個方法由以數學家高斯命名。

用Y表示年份,mod運算指整數除法的餘數(例如13 mod 5 = 3,詳細請參見同餘)。

東正教会所用的儒略曆取M=15,N=6,西方教会所用的公曆的取法參見下表:

  年份      M   N
1583-1699  22   2
1700-1799  23   3
1800-1899  23   4
1900-2099  24   5
2100-2199  24   6
2200-2299  25   0
  • a = Y mod 19
  • b = Y mod 4
  • c = Y mod 7
  • d = (19a + M) mod 30
  • e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7

若d+e < 10則復活節在3月(d+e+22)日,反則在4月(d+e-9)日,除了兩個特殊情況:

  • 若公式算出的日期是4月26日,復活節在4月19日;
  • 若公式算出的日期是4月25日,同時d=28、e=6和a>10,復活節應在4月18日。

Meeus/Jones/Butcher演算法(公曆)[编辑]

Jean Meeus在他的書《天文演算法》(Astronomical Algorithms,1991年)記載了這個計算公曆中的復活節日期的方法,並指這個方法是來自Spencer Jones的書《一般天文學》(General Astronomy,1922年)和《英國天文學會期刊》(Journal of the Brithish Astronomical Association,1977年),後者指方法是來自Butcher's Ecclesiastical Calendar(1876年)。

這個方法的優點是不用任何表也沒有例外的情況。注意這裡用的是整數除法,7/2=3非3.5。

Worked Example
Year(Y) = 1961
Worked Example
Year(Y) = 2000
a = Y mod 19 1961 mod 19 = 4 2000 mod 19 = 5
b = Y / 100 1961 / 100 = 19 2000 / 100 = 20
c = Y mod 100 1961 mod 100 = 61 2000 mod 100 = 0
d = b / 4 19 / 4 = 4 20 / 4 = 5
e = b mod 4 19 mod 4 = 3 20 mod 4 = 0
f = (b + 8) / 25 (19 + 8) / 25 = 1 (20 + 8) / 25 = 1
g = (b - f + 1) / 3 (19 - 1 + 1) / 3 = 6 (20 - 1 + 1) / 3 = 6
h = (19 * a + b - d - g + 15) mod 30 (19 * 4 + 19 - 4 - 6 + 15) mod 30 = 10 (19 * 5 + 20 - 5 - 6 + 15) mod 30 = 29
i = c / 4 61 / 4 = 15 0 / 4 = 0
k = c mod 4 61 mod 4 = 1 0 mod 4 = 0
l = (32 + 2 * e + 2 * i - h - k) mod 7 (32 + 2 * 3 + 2 * 15 - 10 - 1) mod 7 = 1 (32 + 2 * 0 + 2 * 0 - 29 - 0) mod 7 = 3
m = (a + 11 * h + 22 * l) / 451 (4 + 11 * 10 + 22 * 1) / 451 = 0 (5 + 11 * 29 + 22 * 3) / 451 = 0
month = (h + l - 7 * m + 114) / 31 (10 + 1 - 7 * 0 + 114) / 31 = 4 (April) (29 + 3 - 7 * 0 + 114) / 31 = 4 (April)
day = ((h + l - 7 * m + 114) mod 31) + 1 (10 + 1 - 7 * 0 + 114) mod 31 + 1 = 2 (29 + 3 - 7 * 0 + 114) mod 31 + 1 = 23
1961年4月2日 2000年4月23日

Meeus演算法(儒略曆)[编辑]

在《天文演算法》,使用了以下公式計算儒略曆中的復活節日期:(注意這裡用的是整數除法,7/2=3非3.5。)

  • a = Y mod 4
  • b = Y mod 7
  • c = Y mod 19
  • d = (19*c + 15) mod 30
  • e = (2*a + 4*b - d + 34) mod 7
  • 月 = (d+e+114) / 31
  • 日 = ((d+e+114) mod 31) + 1