指数积分

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E1函数(顶)和Ei函数(底)。

数学中,指数积分函数的一种,它不能表示为初等函数

定义[编辑]

对于实数x,指数积分Ei(x)可以定义为:

 \mbox{Ei}(x)=\int_{-\infty}^x\frac{e^t}t\,\mathrm dt.\,

其中e^t指数函数。以上的定义可以用于正数x,但这个积分必须用柯西主值的概念来理解。

对于自变量是复数的情形,这个定义就变得模棱两可了[1] 。为了避免歧义,我们使用以下的记法:

 {\rm E}_1(z) = \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt,\qquad|{\rm Arg}(z)|<\pi.

当自变量的实数部分为正时,可以转换为:

{\rm E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{e^{-tz}}{t}\,\mathrm dt,\qquad \Re(z) \ge 0.

Ei与E1有以下关系:

{\rm Ei}(-x\pm {\rm i}0) = - {\rm E}_1(x) \mp {\rm i} \pi,\quad ~~~~~~~~(x>0)

-{\rm Ei}(x) = \frac{1}{2} {\rm E}_1(-x+{\rm i} 0) + \frac{1}{2} {\rm E}_1(-x-{\rm i} 0),
\qquad~~~~~~~~(x>0)~.


性质[编辑]

收敛级数[编辑]

指数积分可以用以下的收敛级数来表示:

\mbox{Ei}(x) = \gamma+\ln x+ 
  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k\; k!} \,, ~~~~~x>0
E_1(z) =-\gamma-\ln z+ 
  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} z^k}{k\; k!} \,,~~~~~~~~ {\rm Re}(z)>0

其中~\gamma\approx 0.5772156649015328606...~欧拉-马歇罗尼常数。这个级数在自变量为任何复数时都是收敛的,但Ei的定义则需要~x\!>\!0~

渐近(发散)级数[编辑]

截断和中取~N~项时,渐近展开式的相对误差

自变量的值较大时,用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下,我们可以使用发散(或渐近)级数:


E_1(z)=\frac{\exp(-z)}{z} \left[
\sum_{n=0}^{N-1} \frac{n!}{(-z)^n} + 
{\mathcal{O}}\left( \frac{N!}{z^N} \right)
\right]

这个截断和可以用来计算~{\rm Re }(z)\!\gg\! 1~时函数的值。级数中的项数越多,自变量的实数部分就应该越大。

图中描述了以上估计的相对误差。

指数和对数的表现[编辑]

BracketingE1.png

~ E_1~在自变量较大时的表现类似指数函数,自变量较小时类似对数函数。~E_1~是位于以下两个函数之间的:


\frac{\exp(-x)}{2}\!~\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right)
<E_1(x)<
\exp(-x)\!~\ln\!\left(1+\frac{1}{x} \right)
~~~~~~~~x\!>\!0

这个不等式的左端在图中用红色曲线来表示,中间的黑色曲线是~{\rm E}_1(x)~,不等式的右端用蓝色曲线来表示。

与其它函数的关系[编辑]

指数积分与对数积分li(x)有密切的关系:

li(x) = Ei (ln (x))    对于所有正实数x ≠ 1。

另外一个有密切关系的函数,具有不同的积分限:

{\rm E}_1(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-tx}}{t}\,\mathrm dt = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt.

这个函数可以视为把指数积分延伸到负数:

{\rm Ei}(-x) = - {\rm E}_1(x).\,

我们可以把两个函数都用整函数来表示:

{\rm Ein}(x) = \int_0^x (1-e^{-t})\,\frac{\mathrm dt}{t}
= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k\; k!}.

利用这个函数,我们可以用对数来定义:

{\rm E}_1(z) \,=\, -\gamma-\ln z + {\rm Ein}(z),~~~~~~|{\rm Arg}(z)|<\pi~

以及

{\rm Ei}(x) \,=\, \gamma+\ln x - {\rm Ein}(-x),~~~~~~x>0.

指数积分还可以推广为:

{\rm E}_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n}\,\mathrm dt,

它是不完全伽玛函数的一个特例:

{\rm E}_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x).\,

这个推广的形式有时成为Misra函数\varphi_m(x),定义为:

\varphi_m(x)={\rm E}_{-m}(x).\,

导数[编辑]

函数~{\rm E}_n~~{\rm E}_1~的导数有以下简单的关系:

 {{\rm E}_n} '(z) = -{\rm E}_{n-1}(z),~~~~~~~~(|{\rm Arg}(z)|<\pi,~~~ n>0)

然而,这里假设了~n~是整数;复数~n~的推广还没有在文献中报导,虽然这种推广是有可能的。

复变量指数积分[编辑]

 {\rm E}_1( {\rm i}\!~ x) versus ~x~, real part(black) and imaginary part (red).

从以下的表示法中


{\rm E}_1(z) = \int_1^\infty
\frac
{\exp(-zt)}
{t}
\,{\rm d} t,
~~~~~~({\rm Re}(z) \ge 0)

可以看出指数积分与正弦积分(Si)和余弦积分(Ci)之间的关系:


{\rm E}_1( {\rm i}\!~ x)=
-\frac{\pi}{2}
+{\rm Si}(x)-{\rm i}\cdot {\rm Ci}(x),~~~~~~~~~(x>0)

图中的黑色和红色曲线分别描述了~{\rm E}_1(x)~的实数和虚数部分。

参考文献[编辑]

  1. ^ Abramovitz, Milton; Irene Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Abramowitz and Stegun. New York: Dover. 1964. ISBN 0-486-61272-4. 
  • Press, William H. et al. Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York: 1989.
  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5)
  • R. D. Misra, Proc. Cambridge Phil. Soc. 36, 173 (1940)
  • S. Chandrasekhar, Radiative transfer, reprinted 1960, Dover

外部链接[编辑]