指数积分

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E1函数(顶)和Ei函数(底)。

数学中,指数积分函数的一种,它不能表示为初等函数

定义[编辑]

对于实数x,指数积分Ei(x)可以定义为:

其中指数函数。以上的定义可以用于正数x,但这个积分必须用柯西主值的概念来理解。

对于自变量是复数的情形,这个定义就变得模棱两可了[1] 。为了避免歧义,我们使用以下的记法:

当自变量的实数部分为正时,可以转换为:

Ei与E1有以下关系:


性质[编辑]

收敛级数[编辑]

指数积分可以用以下的收敛级数来表示:

其中欧拉-马歇罗尼常数。这个级数在自变量为任何复数时都是收敛的,但Ei的定义则需要

渐近(发散)级数[编辑]

截断和中取项时,渐近展开式的相对误差

自变量的值较大时,用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下,我们可以使用发散(或渐近)级数:

这个截断和可以用来计算时函数的值。级数中的项数越多,自变量的实数部分就应该越大。

图中描述了以上估计的相对误差。

指数和对数的表现[编辑]

BracketingE1.png

在自变量较大时的表现类似指数函数,自变量较小时类似对数函数。是位于以下两个函数之间的:

这个不等式的左端在图中用红色曲线来表示,中间的黑色曲线是,不等式的右端用蓝色曲线来表示。

与其它函数的关系[编辑]

指数积分与对数积分li(x)有密切的关系:

li(x) = Ei (ln (x))    对于所有正实数x ≠ 1。

另外一个有密切关系的函数,具有不同的积分限:

这个函数可以视为把指数积分延伸到负数:

我们可以把两个函数都用整函数来表示:

利用这个函数,我们可以用对数来定义:

以及

指数积分还可以推广为:

它是不完全伽玛函数的一个特例:

这个推广的形式有时成为Misra函数,定义为:

导数[编辑]

函数的导数有以下简单的关系:

然而,这里假设了是整数;复数的推广还没有在文献中报导,虽然这种推广是有可能的。

复变量指数积分[编辑]

versus , real part(black) and imaginary part (red).

从以下的表示法中

可以看出指数积分与正弦积分(Si)和余弦积分(Ci)之间的关系:

图中的黑色和红色曲线分别描述了的实数和虚数部分。

参考文献[编辑]

  1. ^ Abramovitz, Milton; Irene Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Abramowitz and Stegun. New York: Dover. 1964. ISBN 0-486-61272-4. 
  • Press, William H. et al. Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York: 1989.
  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5)
  • R. D. Misra, Proc. Cambridge Phil. Soc. 36, 173 (1940)
  • S. Chandrasekhar, Radiative transfer, reprinted 1960, Dover

外部链接[编辑]