E1函數(頂)和Ei函數(底)。
在數學中,指數積分是函數的一種,它不能表示為初等函數。
對於實數x,指數積分Ei(x)可以定義為:
![{\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69af12b6de31d6b84a9df96cf2446bab57b4dbef)
其中
為指數函數。以上的定義可以用於正數x,但這個積分必須用柯西主值的概念來理解。
對於自變量是複數的情形,這個定義就變得模稜兩可了[1]。為了避免歧義,我們使用以下的記法:
![{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2964eaa4f7b0688ab772fed223b0a44f110ff7b4)
當自變量的實數部分為正時,可以轉換為:
![{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad \Re (z)\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430753972a32191c6393a66fc66fd8d447a25383)
Ei與E1有以下關係:
![{\displaystyle {\rm {Ei}}(-x\pm {\rm {i}}0)=-{\rm {E}}_{1}(x)\mp {\rm {i}}\pi ,\quad ~~~~~~~~(x>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29ef90ea63517c4279ad3fe86c7ecb91c56480d)
![{\displaystyle -{\rm {Ei}}(x)={\frac {1}{2}}{\rm {E}}_{1}(-x+{\rm {i}}0)+{\frac {1}{2}}{\rm {E}}_{1}(-x-{\rm {i}}0),\qquad ~~~~~~~~(x>0)~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195a37c073b145a458772db535b0382e3f7fbc0b)
收斂級數[編輯]
指數積分可以用以下的收斂級數來表示:
![{\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~x>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79bd3201efa1a0239b76f339d894878e955cae53)
![{\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~~~~{\rm {Re}}(z)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9389bb55bfe0a3d75190c6d90d6bb02b52f03bf)
其中
是歐拉-馬歇羅尼常數。這個級數在自變量為任何複數時都是收斂的,但Ei的定義則需要
。
漸近(發散)級數[編輯]
截斷和中取
項時,漸近展開式的相對誤差
自變量的值較大時,用以上的收斂級數來計算指數積分是困難的。在這種情況下,我們可以使用發散(或漸近)級數:
![{\displaystyle E_{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {N!}{z^{N}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63236aa84be6c9b307a30ee942c138bcce710822)
這個截斷和可以用來計算
時函數的值。級數中的項數越多,自變量的實數部分就應該越大。
圖中描述了以上估計的相對誤差。
指數和對數的表現[編輯]
在自變量較大時的表現類似指數函數,自變量較小時類似對數函數。
是位於以下兩個函數之間的:
![{\displaystyle {\frac {\exp(-x)}{2}}\!~\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<\exp(-x)\!~\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)~~~~~~~~x\!>\!0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b75483d6ea380ef0743ab0b09ac7307d8e3357f)
這個不等式的左端在圖中用藍色曲線來表示,中間的黑色曲線是
,不等式的右端用紅色曲線來表示。
與其它函數的關係[編輯]
指數積分與對數積分li(x)有密切的關係:
- li(x) = Ei (ln (x)) 對於所有正實數x ≠ 1。
另外一個有密切關係的函數,具有不同的積分限:
![{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tx}}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f416dafcbb5aaaba2430d0fe0c6e2db7bd5c487d)
這個函數可以視為把指數積分延伸到負數:
![{\displaystyle {\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da234347cf20d1d40991eed1d8672eb4a6acbc4)
我們可以把兩個函數都用整函數來表示:
![{\displaystyle {\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-e^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1f3d0bf2566185f5f6df68d03290b03a90ab868)
利用這個函數,我們可以用對數來定義:
![{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z),~~~~~~|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f2f962f582ed017e130b392027f5e9bccc0c0b)
以及
![{\displaystyle {\rm {Ei}}(x)\,=\,\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(-x),~~~~~~x>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293d2f7599cf08be9eaa81836edfdfc60d2de1a5)
指數積分還可以推廣為:
![{\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987fa3550fe1772bfab4ca52897c9edde312223a)
它是不完全伽瑪函數的一個特例:
![{\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1e7498e206ca4b6bbacffd318ce8b820c91986)
這個推廣的形式有時成為Misra函數
,定義為:
![{\displaystyle \varphi _{m}(x)={\rm {E}}_{-m}(x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72af93cc6b119dfbc05ac6e3b90035ed4995b47c)
函數
與
的導數有以下簡單的關係:
![{\displaystyle {{\rm {E}}_{n}}'(z){n-1}(z),~~~~~~~~(|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ,~~~n>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7a3dd7e597d4c6e89c4a1028138c3374405a55)
然而,這裏假設了
是整數;複數
的推廣還沒有在文獻中報導,雖然這種推廣是有可能的。在 y=2x的圖形中,其導函數在任意x值所對應的y值為原函數的0.693倍。
複數變數指數積分[編輯]
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/E1ofImaginaryArgument.png/200px-E1ofImaginaryArgument.png)
versus
, real part(black) and imaginary part (red).
從以下的表示法中
![{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,{\rm {d}}t,~~~~~~({\rm {Re}}(z)\geq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfca80477afcac0578ac572e20712ef9e1879c14)
可以看出指數積分與正弦積分(Si)和餘弦積分(Ci)之間的關係:
![{\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)-{\rm {i}}\cdot {\rm {Ci}}(x),~~~~~~~~~(x>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e71d1eb13c5c79582a2a0c7ae3989ba5e167528)
圖中的黑色和紅色曲線分別描述了
的實數和虛數部分。
參考文獻[編輯]
- R. D. Misra, Proc. Cambridge Phil. Soc. 36, 173 (1940)
- S. Chandrasekhar, Radiative transfer, reprinted 1960, Dover
外部連結[編輯]