格羅莫夫積

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格羅莫夫(Gromov)積度量幾何的一個概念,以米哈伊爾·格羅莫夫命名。在一個測地度量空間中,從同一點出來的兩條測地線,格羅莫夫積大概量度這兩條線彼此相近而行的距離。不過,格羅莫夫積的定義並不需要測地線存在。[1]

格羅莫夫積可用以定義格羅莫夫雙曲空間及其理想邊界。

定義[编辑]

為度量空間,中三點,則為基點的格羅莫夫積定義為

性質[编辑]

  • 對稱性
  • 若基點和另一點相同,格羅莫夫積為零:
  • 以下關係式成立:
  • 歐幾里德幾何中,若為平面上任意一個三角形,等於點到內切圓與AB及AC的兩個切點的距離。
Inkreis mit Strecken.svg
  • ,則對中任意三點是從的兩條線段重合部份的長度。
  • 為測地度量空間。記為連接點的一條測地線段。(注意連接此兩點的測地線段未必唯一。)對中任意三點有不等式:
  • 格羅莫夫雙曲空間其中一個定義為:[2]
為常數。度量空間稱為δ-雙曲,若中任意點都符合不等式

參考[编辑]

  1. ^ Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75--263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
  2. ^ É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.