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格罗莫夫积

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格罗莫夫(Gromov)积度量几何的一个概念,以米哈伊尔·格罗莫夫命名。在一个测地度量空间中,从同一点出来的两条测地线,格罗莫夫积大概量度这两条线彼此相近而行的距离。不过,格罗莫夫积的定义并不需要测地线存在。[1]

格罗莫夫积可用以定义格罗莫夫双曲空间及其理想边界。

定义

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为度量空间,中三点,则为基点的格罗莫夫积定义为

性质

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  • 对称性
  • 若基点和另一点相同,格罗莫夫积为零:
  • 以下关系式成立:
  • ,则对中任意三点是从的两条线段重合部分的长度。
  • 为测地度量空间。记为连接点的一条测地线段。(注意连接此两点的测地线段未必唯一。)对中任意三点有不等式:
  • 格罗莫夫双曲空间其中一个定义为:[2]
为常数。度量空间称为δ-双曲,若中任意点都符合不等式

参考

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  1. ^ Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75--263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
  2. ^ É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.