格羅莫夫(Gromov)積 是度量幾何 的一個概念,以米哈伊爾·格羅莫夫 命名。在一個測地度量空間 中,從同一點出來的兩條測地線 ,格羅莫夫積大概量度這兩條線彼此相近而行的距離。不過,格羅莫夫積的定義並不需要測地線存在。[ 1]
格羅莫夫積可用以定義格羅莫夫雙曲空間 及其理想邊界。
設
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
為度量空間,
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
為
X
{\displaystyle X}
中三點,則
y
,
z
{\displaystyle y,z}
以
x
{\displaystyle x}
為基點的格羅莫夫積定義為
(
y
,
z
)
x
:=
1
2
(
d
(
x
,
y
)
+
d
(
x
,
z
)
−
d
(
y
,
z
)
)
{\displaystyle (y,z)_{x}:={\frac {1}{2}}{\big (}d(x,y)+d(x,z)-d(y,z){\big )}}
對稱性 :
(
y
,
z
)
x
=
(
z
,
y
)
x
{\displaystyle (y,z)_{x}=(z,y)_{x}}
若基點和另一點相同,格羅莫夫積為零:
(
y
,
z
)
y
=
0
{\displaystyle (y,z)_{y}=0}
,
(
y
,
z
)
z
=
0
{\displaystyle (y,z)_{z}=0}
以下關係式成立:
d
(
x
,
y
)
=
(
x
,
z
)
y
+
(
y
,
z
)
x
{\displaystyle d(x,y)=(x,z)_{y}+(y,z)_{x}}
0
≤
(
y
,
z
)
x
≤
min
{
d
(
y
,
x
)
,
d
(
z
,
x
)
}
{\displaystyle 0\leq (y,z)_{x}\leq \min {\big \{}d(y,x),d(z,x){\big \}}}
|
(
y
,
z
)
p
−
(
y
,
z
)
q
|
≤
d
(
p
,
q
)
{\displaystyle {\big |}(y,z)_{p}-(y,z)_{q}{\big |}\leq d(p,q)}
|
(
x
,
y
)
p
−
(
x
,
z
)
p
|
≤
d
(
y
,
z
)
{\displaystyle {\big |}(x,y)_{p}-(x,z)_{p}{\big |}\leq d(y,z)}
在歐幾里德幾何 中,若
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
為平面上任意一個三角形 ,
(
B
,
C
)
A
{\displaystyle (B,C)_{A}}
等於
A
{\displaystyle A}
點到內切圓 與AB及AC的兩個切點的距離。
設
X
{\displaystyle X}
為樹 ,則對
X
{\displaystyle X}
中任意三點
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
,
(
y
,
z
)
x
{\displaystyle (y,z)_{x}}
是從
x
{\displaystyle x}
到
y
,
z
{\displaystyle y,z}
的兩條線段重合部份的長度。
設
X
{\displaystyle X}
為測地度量空間。記
[
y
,
z
]
{\displaystyle [y,z]}
為連接點
y
,
z
{\displaystyle y,z}
的一條測地線段。(注意連接此兩點的測地線段未必唯一。)對
X
{\displaystyle X}
中任意三點
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
有不等式:
d
(
x
,
[
y
,
z
]
)
≥
(
y
,
z
)
x
{\displaystyle d(x,[y,z])\geq (y,z)_{x}}
設
δ
≥
0
{\displaystyle \delta \geq 0}
為常數。度量空間
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
稱為δ-雙曲 ,若
X
{\displaystyle X}
中任意點
p
,
x
,
y
,
z
{\displaystyle p,x,y,z}
都符合不等式
(
x
,
z
)
p
≥
min
{
(
x
,
y
)
p
,
(
y
,
z
)
p
}
−
δ
{\displaystyle (x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta }
^ Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75--263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
^ É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.