素数的倒数之和

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公元前3世纪欧几里得证明了素数有无穷多个。公元十八世纪欧拉证明了所有素数的倒数之和发散。这里我们给出一些证明。

证明一[编辑]

因为当n逐渐增大时,前n个整数的倒数之和趋近于ln(n),所以

证明二[编辑]

此证明由保罗·埃尔德什给出。用反证法

假设所有素数的倒数之和收敛:

定义为第i个素数。我们得到

存在一个整数i使得

定义N(x)为不超过x且不能被任何大于第i个素数的素数整除的正整数n的个数。 设n=k不再含平方因子(任何整数都可以这样)。 由于只有i个素数能整除kk最多只有种选择。 又因为m最多只能取个值,我们得到:

不超过x且能被某些大于第i个素数的素数整除的正整数n的个数为x − N(x)。

因为不超过x且能被p整除的整数最多有x/p个,我们得到

但这是不可能的。

证毕

参见[编辑]

外部链接[编辑]