零一律

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零一律概率论中的一个定律,它是安德雷·柯尔莫哥洛夫发现的,因此有时也叫柯尔莫哥洛夫零一律。其内容是:有些事件发生的概率不是几乎一(肯定发生),就是几乎零(肯定不发生)。这样的事件被称为“尾事件”。

尾事件是由无限多的随机变量序列来定义的。假设

X_1,X_2,X_3,\dots\,

是无限多的獨立的随机变量(無需同等地分佈)。即“尾事件”是一種事件,其发生或不发生由这些随机变量決定,但不由任何这些随机变量的有限系列所决定。比如,假如以下系列

\sum_{k=1}^\infty X_k

收斂,则該事件是一个尾事件。序列和雖收斂但大于1的事件並不是尾事件,因为,比如它不是与X1的值无关。比如假如我们扔无限多次银币,则连续100次数字面向上的事件出现无限多次的事件是一个尾事件。

无限猴子定理是零一律的一个例子。

公式[编辑]

柯尔莫哥洛夫零一律更一般的论述是对独立的 σ-代数流而言的。 令 (Ω,F,P) 是一个概率空间Fn 是包含于 F一列相互独立的 σ-代数。 令

G_n=\sigma\bigg(\bigcup_{k=n}^\infty F_k\bigg)

是包含Fn, Fn+1, …的最小的σ-代数。那么柯尔莫哥洛夫零一律推出对任意的事件

F\in \bigcap_{n=1}^\infty G_n

一定有 P(F) = 0 或 1。