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零一律

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零一律概率論中的一條定理。它是安德雷·柯爾莫哥洛夫發現的,因此有時也叫柯爾莫哥洛夫零一律。其內容是:尾事件發生的概率只能是一(幾乎肯定發生)或零(幾乎肯定不發生)。

尾事件以隨機變量的無窮序列定義。假設

是無窮多個的獨立的隨機變量(不一定有同樣的分佈)。 記 生成的 σ-代數,則一個尾事件 就是與任意有限多個這些隨機變量都獨立的事件。(注意: 屬於 ,意味着事件 發生或不發生由 的值確定,但此條件不足以證明零一律。)

比如,序列 收斂便是一個尾事件。此外,級數

收斂也是一個尾事件。級數收斂且大於1的事件並不是尾事件,因為它不是與X1的值無關。假如扔無窮多次硬幣,則連續100次數字面向上的事件出現無限多次是一個尾事件。

直觀地看,若可以無視前任意多個 的值,而仍能判斷某事件是否發生,則該事件為尾事件。

許多時候,運用零一律很易證得某事件的概率必為 0 或 1,但卻很難判斷兩者之中,何者為其真正的概率。

無限猴子定理是零一律的一個例子。

定理敍述

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柯爾莫哥洛夫零一律更一般的論述對獨立的 σ代數序列適用。令 (Ω, F ,P ) 是一個概率空間Fn 為包含於 F 的一列相互獨立的 σ-代數。 令

是包含Fn, Fn+1, …的最小的 σ-代數。那麼柯爾莫哥洛夫零一律斷言對任意的事件

都有 P (F ) = 0 或 1。

把以上的 Fn 取為由隨機變量 Xn 生成的 σ-代數,就得到定理對隨機變量的敍述。此時,尾事件定義為既在由所有的 Xn 生成的 σ-代數中可測,也與任意有限多個 Xn 都獨立的事件。換言之,尾事件是屬於 的事件。

相關條目

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參考資料

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