莫雷角三分線定理

在欧几里得幾何中，莫雷角三分線定理（Morley's theorem）說明對所有的三角形，其三個内角作角三分線，靠近公共边三分線的三個交點，是一個等邊三角形。此定理由法蘭克·莫雷在1899年發現。对外角作外角三分線，也會有类似的性质，可以再作出4個等邊三角形。

此定理有趣的地方是我們沒辦法用尺規作圖作出其等邊三角形，因為已經證明出尺規作圖無法作出三等分角。

證明

引理

由三倍角公式及和差公式可得出：

$\sin 3\theta \equiv 4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )$

引理證明

$\sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta$

$=\sin \theta (3-4\sin ^{2}\theta )=\sin \theta (3\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )$

$=\sin \theta ({\sqrt {3}}\cos \theta +\sin \theta )({\sqrt {3}}\cos \theta -\sin \theta )$

$=4\sin \theta ({\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta +{\tfrac {1}{2}}\sin \theta )({\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta -{\tfrac {1}{2}}\sin \theta )$

$=4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )$

莫雷角三分線定理證明

定理證明

在$\triangle ABC$中：

$\alpha$是$\angle A$的三等分角

$\beta$是$\angle B$的三等分角

$\gamma$是$\angle C$的三等分角

作6條角三分線分別為${\overline {BX}}$、${\overline {XC}}$、${\overline {CY}}$、${\overline {YA}}$、${\overline {AZ}}$、${\overline {ZB}}$，作$D$、$E$、$F$在${\overline {BC}}$上，且${\overline {BC}}\bot {\overline {XD}}$、$\angle BXE=\angle CXF=60^{\circ }$

容易得出$\alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }$，由此等式還可以得出以下三式：

$\angle BXC=120^{\circ }+\alpha$

$\angle CYA=120^{\circ }+\beta$

$\angle AZB=120^{\circ }+\gamma$

由正弦定理可得出：

$\sin(120^{\circ }+\beta )={\frac {{\overline {AC}}\sin \gamma }{\overline {AY}}}$

$\sin(120^{\circ }+\gamma )={\frac {{\overline {AB}}\sin \beta }{\overline {AZ}}}$

從這裡可以得出$\triangle XEF$的三個內角，計算出$\angle XEF$和$\angle XFE$的正弦值：

$\angle EXF=\alpha$

$\angle XEF=60^{\circ }+\beta \Rightarrow \sin(60^{\circ }+\beta )={\tfrac {\overline {XD}}{\overline {XE}}}$

$\angle XFE=60^{\circ }+\gamma \Rightarrow \sin(60^{\circ }+\gamma )={\tfrac {\overline {XD}}{\overline {XF}}}$

我們知道：

${\overline {AB}}\sin 3\beta ={\overline {AC}}\sin 3\gamma$

從引理我們可以得出：

${\overline {AB}}4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )={\overline {AC}}4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma )$

${\overline {AB}}\sin \beta {\frac {\overline {XD}}{\overline {XE}}}{\frac {{\overline {AC}}\sin \gamma }{\overline {AY}}}={\overline {AC}}\sin \gamma {\frac {\overline {XD}}{\overline {XF}}}{\frac {{\overline {AB}}\sin \beta }{\overline {AZ}}}$

化簡後得出：

${\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}={\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}\Rightarrow \triangle XEF\approx \triangle AZY$

因為$\triangle XEF$和$\triangle AYZ$相似，所以可得出：

$\angle AZY=\angle XEF=60^{\circ }+\beta$

$\angle AYZ=\angle XFE=60^{\circ }+\gamma$

同理可得出：

$\angle BZX=60^{\circ }+\alpha$

$\angle CYX=60^{\circ }+\alpha$

綜合以上結果，可得出$\angle XZY=\angle XYZ=60^{\circ }$，因此$\triangle XYZ$是等邊三角形

推廣

更一般的莫雷角三分線定理由Taylor和Marr於1914年發表，將6條角三分線順時鐘和逆時鐘旋轉120°，其交點共可得出27個不同的等邊三角形。

參見

• 三等分角
• 三角恆等式

參考資料

• Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 253-256, 1929.
• Morley's Miracle — Several proofs of Morley's theorem
• Morleys Theorem MathWorld
• Morley's Trisection Theorem MathPages