列维-奇维塔联络

列维-奇维塔联络（Levi-Civita connection），在黎曼几何中，是切丛上的无挠率联络，它保持黎曼度量(或伪黎曼度量)不变。因意大利数学家图利奥·列维-奇维塔而得名。

黎曼几何基本定理表明存在唯一联络满足这些属性。

在黎曼流形和伪黎曼流形的理论中，共变导数一词经常用于列维-奇维塔联络。联络的坐标空间的表达式称为克里斯托费尔符号。

形式化定义[编辑]

设 $(M,g)$ 为一黎曼流形（或伪黎曼流形），则仿射联络 $\nabla$ 在满足以下条件时是列维-奇维塔联络。

无挠率：也就是，对任何向量场 $X,Y$ 我们有 $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$ ，其中 $[X,Y]$ 是向量场 $X$ 和 $Y$ 的李括号。

与度量相容：也就是,对任何向量场 $X,Y,Z$ 我们有 $Xg(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)$ ，其中 $Xg(Y,Z)$ 表示函数 $g(Y,Z)$ 沿向量场 $X$ 的导数。

列维-奇维塔联络也定义了一个沿曲线的导数，通常用 $D$ 表示。

给定一个在 $(M,g)$ 上的光滑曲线 $\gamma$ 和 $\gamma$ 上的一个向量场 $V$ ，其导数定义如下

{\frac {D}{dt}}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.