埃雷斯曼联络

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微分几何中,埃雷斯曼联络Ehresmann connection)是应用于任意纤维丛联络概念的一个版本。特别的是,它可以是非线性的,因为一般的纤维丛上没有合适的线性的概念。 一般情况下,它适用于主丛这一类特殊的纤维丛,通过联络形式表述,在这种情况联络至少是在一个李群的作用下等变。埃雷斯曼联络以法国数学家夏尔·埃雷斯曼命名,他第一次这种想法正式化。

简介[编辑]

微分几何中经典的协变导数是一个线性微分算子,它以协变的方式取向量丛的一个截面的方向导数。它也能够表达在一个向量的方向上的一个丛的平行截面的概念:截面s沿着向量V平行,如果∇Vs = 0。所以一个协变导数提供了两个便利:一个微分算子,和在各个方向上的平行的意义。一个埃雷斯曼联络[1]完全放弃了微分算子,并用截面在各个方向平行的含义来公理化地定义一个联络。精确一点讲,一个埃雷斯曼联络提出纤维丛的总空间的切丛的一类特殊的子空间,称为“水平空间”。截面 s 是在 V 方向上是水平的(也即平行的),如果 ds(V )处于水平空间中。在这里,我们把 s 作为一个函数 s : ME 从底空间 M 映射到向量丛 E ,则 ds : TMTE 是向量的前推。水平空间组成 TE 的一个子向量丛。

这个定义一个直接的好处是它可以用于比向量丛一般得多的场合。特别是,它对于一般的纤维丛都是有定义的。而且,很多协变导数的特色得到了保留:平行移动,曲率和樂

联络中失去的成分除了线性之外就是协变性。在经典协变导数的情况,协变性是后验的特色。在它们的构造中,要给定克氏记号的变换法则 -- 它不是协变的 -- 然后导数的一般协变性就是这个法则的直接结果。对于一个埃雷斯曼联络,一开始就可以通过引入作用在纤维丛的纤维上的一个李群来强加一个推广了的协变原则。恰当的条件就是要求水平空间在某种意义下对应于群作用等变

埃雷斯曼联络的点睛之笔是它可以作为一个微分形式表达,和联络形式的情况相当类似。若一个群作用在纤维上,并且联络等变,则该形式也是等变的。而且,该联络形式也有作为曲率形式出现的曲率定义。

纤维丛上的埃雷斯曼联络[编辑]

令π : EM纤维丛[2]E上的埃雷斯曼联络由如下数据组成:

  1. 对于每一点xE,给定Ex点的切空间向量子空间 HxTxEHx称为x点的水平空间
  2. 随着x的变化,Hx必须定义出一个E的切丛的光滑子丛。(特别是,H必须有常数维度。)
  3. V = ker(dπ : TETM)为由所有沿着E的纤维方向的切向量组成的铅直丛。则HxVx = {0} 对于xE成立。
  4. 任何E的切向量必须可以分解为水平和铅直分量: TE = H + V。(特别是,根据上面第3条,这是一个直和分解。)

用更加看似深奥的术语来讲,满足属性1-4的这样的一个对水平空间的设定,精确地对应于给定一个射丛 JEE的光滑截面。

等价的有,令Φ为到铅直丛V的投影。这可以由上述TE到水平和铅直分量的直和分解得到。则Φ满足:

  1. Φ2 = Φ
  2. Φ : TEV是一个丛的满射。

反过来,若Φ是满足1和2的向量丛映射,则H = ker Φ定义了上述的一个埃雷斯曼联络的结构。

曲率[编辑]

令Φ为一埃雷斯曼联络。则Φ的曲率为

R = \frac{1}{2}[\Phi,\Phi]

其中[-,-]表示Φ ∈ Ω1(E,TE)和它自己的Frölicher-Nijenhuis括号。这样R ∈ Ω2(E,TE)就是一个E上取值在TE中的2-形式,定义为

R(X,Y) = \Phi\left([(Id - \Phi)X,(Id - \Phi)Y]\right),

或者说

R(X,Y) = [X_H,Y_H]_V,

其中X = XH + XV代表到HV分量的分解。从上式可以看出,曲率为0当且仅当水平子丛是弗罗贝尼乌斯可积的。这样,曲率是否为0就是水平子丛能否构成纤维丛EM的横截面的可积性条件

一个埃雷斯曼的曲率也满足比安基恒等式(Bianchi identity)的一个扩展版本:

[\Phi, R] = 0

其中[-,-]仍然是Φ ∈ Ω1(E,TE)和R ∈ Ω2(E,TE)的Frölicher-Nijenhuis括号。

水平提升[编辑]

埃雷斯曼联络也给出了将曲线从基流形 M 提升到纤维丛 E 的总空间并且使得曲线得切向量为水平向量的方式。这些水平提升是其它版本的联络表述中的平行移动的直接对应。

精确来讲,设 γ(t) 为 M 中穿过点 P = γ(0) 的光滑曲线。令 eEPP 上的纤维中的一点。γ 穿过 e 的一个提升就是一条曲线 \tilde{\gamma}(t),它位于 E 中,并满足

\tilde{\gamma}(0)=e,与 \pi(\tilde{\gamma}(t)) = \gamma(t).

提升是水平的,当曲线的每个切向量位于 TE 的水平子丛中:

\tilde{\gamma}'(t) \in H_{\gamma(t)}.

对π和Φ利用秩-零化度定理可以证明每个向量v ∈ TPM有唯一的水平提升\tilde{v}\in T_eE。特别是,γ的切向量场在拉回丛 γ-1E的总空间上产生一个水平向量场。利用皮卡定理,这个向量场是可积的。这样,对于每个曲线γ和γ(0)的纤维上的一点e,对于足够小的时间t总是存在唯一的穿过e的γ的水平提升

完备性[编辑]

埃雷斯曼联络允许曲线有局部水平提升。对于一个完备埃雷斯曼联络,曲线可以在整个定义域上水平提升。

和乐群[编辑]

联络的平坦性局部对应于水平空间的弗罗贝尼乌斯可积性。在另一个极端,非零曲率表示了联络的和乐群的存在。[3]

主丛[编辑]

对于G-丛 E\to B ,每个x\in E,令T_x(E)代表在x的切空间,用 V_x代表和纤维相切的铅直子空间。则联络是对T_x(E)水平子空间 H_x的指定,并要满足

  1. T_x(E)V_xH_x的直和,
  2. H_x的分布在GE上的作用下不变,也即H_{ax}=D_x(R_a)H_{x}对于任何x\in E

a\in G成立,这里D_x(R_a)代表ax群作用的微分。

  1. 分布H_x光滑地依赖于x

使用射丛 JE \rightarrow E可以更加优美地表达这个定义。指定水平空间无非就是指定该射丛的一个光滑截面。

G的单参数子群铅直作用于E上。该作用的微分允许我们可以讲子空间V_xG群的李代数g等同起来,譬如通过映射\iota:V_x\to g。 然后,联络形式就是E上的在g中取值的微分形式\omega,其定义为\omega(X)=\iota\circ v(X) 其中v代表在x \in E的从X \in T_xV_x的投影,且其核空间为H_x

联络形式满足如下两个属性:

  • 联络在G作用下等变R_h^*\omega=\hbox{Ad}(h^{-1})\omega 对于所有hG成立。
  • 联络将铅直向量场映射为相应的李代数的元素:\omega(X)=\iota(X)对于所有XV成立。

反过来,可以证明这样一个g-值1-形式在一个主丛上产生一个水平分布,满足前面所说的属性。

给定一个局部平凡化,可以将\omega(在该平凡化中)简化为水平向量场。它通过拉回B上定义了一个形式\omega'。该形式\omega'完全确定了\omega,但是它依赖于平凡化的选择。(这个形式经常也称为联络形式并也记为\omega。)

备注[编辑]

  1. ^ Ehresmann, C. "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable", Colloque de Toplogie, Bruxelles (1950) 29-55.
  2. ^ 这在更一般的情况也成立,这种情况下π:EM是一个 浸入: 也即,E是一个M上的纤维化流形
  3. ^ 埃雷斯曼联络的和乐群有时称为埃雷斯曼-瑞布和乐群(Ehresmann-Reeb holonomy)或者叶和乐群,参看瑞布首次使用埃雷斯曼联络研究叶状结构的文章:Reeb, G. Sur Certaines Proprietes Topologiques des Varietes Feuilletees, Herman, Paris, 1952.

进阶阅读[编辑]

  • Bott, R. (1970) "Topological obstruction to integrability", Proc. Symp. Pure Math., 16 Amer. Math. Soc., Providence, RI.