| 本條目存在以下問題,請協助 改善本條目或在 討論頁針對議題發表看法。
| 此條目需要 精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑。 (2012年4月19日) 請邀請適合的人士改善本条目。更多的細節與詳情請參见討論頁。 |
|
在数论中,类数公式涉及了许多重要的不变量,是数域到其特殊的戴德金zeta函数赋值。
数域 K 有扩张[K:Q]=r=r1+2r2, 为 K的实素点个数, 为 K的复素点个数.
K戴德金zeta函数记为:
则有下列不变量:
- 为K的理想类群的阶
- K的素点
- 为K的单位根个数
- 为K在K/Q扩张的判别式
- 定理1(类数公式)数域 K 的戴德金zeta函数绝对收敛,并对复平面,且s =1时,只有一个极点的亚纯函数,其留数为:
这是最普遍的“类数公式”。在特殊情况下,例如当K是分圆域的扩张,也有简化的类数公式。
- 以下参考达文波特。[1]狄利克雷在1839年证明了第一类数公式,但它是关于二次型的类数而不是理想类的证明。设d是一个基本单位的判别式,写判别ð二次型的等价类数h为(D)。是Kronecker符号,则χ是Dirichlet特征。记χ的LDirichlet L序列为L(s, χ),
对于d>0,让t> 0,u>0 则满足u是最小的解Pell方程,如记:(ε也是实2次域的基本单位或基本单位的平方),
对于d<0,记w为判别式d的二次型的自同构个数,则:
然后狄利克雷证明出:
这是上述定理1一个特殊情况:只对一个二次域K戴德金zeta函数的结论:, 留数为.狄利克雷也证明了,L序列可以写成有限形式,从而类数也可以写成有限形式。类数有限的形式为: