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WKB近似

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量子力學裏,WKB近似是一種半經典計算方法,可以用來解析薛丁格方程式喬治·伽莫夫使用這方法,首先正確地解釋了阿爾法衰變。WKB近似先將量子系統的波函數,重新打造為一個指數函數。然後,半經典展開。再假設波幅相位的變化很慢。通過一番運算,就會得到波函數的近似解。

簡略歷史[编辑]

WKB近似以三位物理學家Gregor WentzelHendrik Anthony Kramers萊昂·布里淵姓氏字首命名。於1926年,他們成功地將這方法發展和應用於量子力學。不過早在1923年,數學家Harold Jeffreys就已經發展出二階線性微分方程式的一般的近似法。薛丁格方程式也是一個二階微分方程式。可是,薛丁格方程式的出現稍微晚了兩年。三位物理學家各自獨立地在做WKB近似的研究時,似乎並不知道這個更早的研究。所以物理界提到這近似方法時,常常會忽略了Harold Jeffreys所做的貢獻。這方法在荷蘭稱為KWB近似,在法國稱為BWK近似,只有在英國稱為JWKB近似[1]

數學概念[编辑]

一般而言,WKB近似專門計算一種特殊微分方程式的近似解。這種特殊微分方程式的最高階導數項目的係數是一個微小參數。給予一個微分方程式,形式為

假設解答的形式可以展開為一個漸近級數asymptotic series):

將這據理思考過的猜想代入微分方程式。然後约去相同指數函數因子。又取的極限。這樣,就可以從開始,一個一個的解析這漸近級數的每一個項目

通常的漸近級數會發散(不收斂)。當大於某值後,一般項目會開始增加。因此WKB近似法造成的最小誤差,約是最後包括項目的數量級。

數學例子[编辑]

設想一個二階齊次線性微分方程式

其中,

猜想解答的形式為

將猜想代入微分方程式,可以得到

的極限,最重要的項目是

我們可以察覺,必須與成比例。設定,則的零次冪項目給出

我們立刻認出這是相函方程式eikonal equation)。解答為

檢查的一次冪項目給出

這是一個一維傳輸方程式transport equation)。解答為

其中,是任意常數。

我們現在有一對近似解(因為可以是正值或負值)。一般的一階WKB近似解是這一對近似解的線性組合:

檢查的更高冪項目()可以給出:

薛丁格方程式的近似解[编辑]

解析一個量子系統的薛丁格方程式,WKB近似涉及以下步驟:

  1. 波函數重新打造為一個指數函數
  2. 將這指數函數代入薛丁格方程式
  3. 展開指數函數的參數為約化普朗克常數冪級數
  4. 匹配約化普朗克常數同次冪的項目,會得到一組方程式,
  5. 解析這些方程式,就會得到波函數的近似。

一維不含時薛丁格方程式

其中,約化普朗克常數是質量,是坐標,位勢是能量,是波函數。

稍加編排,重寫為

(1)

假設波函數的形式為另外一個函數的指數(函數作用量有很親密的關係):

代入方程式(1),

(2)

其中,表示隨著的導數。

可以分為實值部分與虛值部分。設定兩個函數

注意到波函數的波幅是,相位是。將的代表式代入方程式(2),分別匹配實值部分、虛值部分,可以得到兩個方程式:

(3)
(4)

半經典近似[编辑]

展開為冪級數

將兩個冪級數代入方程式(3)與(4)。的零次冪項目給出:

假若波幅變化地足夠慢於相位(),那麼,我們可以設定

只有當的時候,這方程式才成立。經典運動只會允許這種狀況發生。

更精確一點,的一次冪項目給出:

所以,

波函數的波幅是

定義動量,則波函數的近似為

(5)

其中,是常數,是一個任意參考點的坐標。

換到另一方面,假若相位變化地足夠慢於波幅(),那麼,我們可以設定

只有當的時候,這方程式才成立。經典運動不會允許這種狀況發生。只有在量子系統裏,才會發生這種狀況,稱為量子穿隧效應。類似地計算,可以求得波函數的近似為

(6)

其中,

連接公式[编辑]

顯而易見地,我們可以從分母觀察出來,在經典轉向點,這兩個近似方程式(5)和(6)會發散,無法表示出物理事實。我們必須正確地找到波函數在經典轉向點的近似解答。設定是經典運動允許區域。在這區域內,,波函數呈振動形式。其它區域是經典運動不允許區域,波函數呈指數遞減形式。假設在經典轉向點附近,位勢足夠的光滑,可以近似為線性函數。更詳細地說,在點附近,將 展開為一個冪級數:

其中,是常數值係數。

取至一階,方程式(1)變為

這微分方程式稱為艾里方程式,其解為著名的艾里函數

匹配艾里函數和在的波函數,在的波函數,經過一番繁雜的計算,可以得到在附近的連接公式connection formula[1]

類似地,也可以得到在附近的連接公式:

量子化規則[编辑]

在經典運動允許區域內的兩個連接公式也必須匹配。設定角變量

那麼,

立刻,我們可以認定。匹配相位,假若,那麼,

所以,

假若,那麼,

所以,

總結,量子系統必須滿足量子化守則:

範例[编辑]

考慮一個量子諧振子系統,一個質量為的粒子,運動於諧振位勢;其中,是角頻率。求算其本徵能級

能量為的粒子,其運動的古典轉向點

所以,

粒子的動量為

將這些變量代入量子化守則:

經過一番運算,可以得到本徵能量

藉由以上之計算,發現近似解與精確解完全一樣。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

現代文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7. 
  • Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison-Wesley. 2003. ISBN 0-8053-8714-5. 
  • Sakurai, J. J. Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 1993. ISBN 0-201-53929-2. 
  • Bender, Carl; Orszag, Steven. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. McGraw-Hill. 1978. ISBN 0-07-004452-X. 

歷史文獻[编辑]