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WKB近似

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量子力学里,WKB近似是一种半经典计算方法,可以用来解析薛丁格方程式乔治·伽莫夫使用这方法,首先正确地解释了阿尔法衰变。WKB近似先将量子系统的波函数,重新打造为一个指数函数。然后,半经典展开。再假设波幅相位的变化很慢。通过一番运算,就会得到波函数的近似解。

简略历史

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WKB近似以三位物理学家格雷戈尔·文策尔汉斯·克喇末莱昂·布里渊姓氏字首命名。于1926年,他们成功地将这方法发展和应用于量子力学。不过早在1923年,数学家哈罗德·杰弗里斯就已经发展出二阶线性微分方程式的一般的近似法。薛丁格方程式也是一个二阶微分方程式。可是,薛丁格方程式的出现稍微晚了两年。三位物理学家各自独立地在做WKB近似的研究时,似乎并不知道这个更早的研究。所以物理界提到这近似方法时,常常会忽略了杰弗里斯所做的贡献。这方法在荷兰称为KWB近似,在法国称为BWK近似,只有在英国称为JWKB近似[1]

数学概念

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一般而言,WKB近似专门计算一种特殊微分方程式的近似解。这种特殊微分方程式的最高阶导数项目的系数是一个微小参数。给予一个微分方程式,形式为

假设解答的形式可以展开为一个渐近级数

将这拟设代入微分方程式。然后约去相同指数函数因子。又取的极限。这样,就可以从开始,一个一个的解析这渐近级数的每一个项目

通常的渐近级数会发散。当大于某值后,一般项目会开始增加。因此WKB近似法造成的最小误差,约是最后包括项目的数量级。

数学例子

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设想一个二阶齐次线性微分方程式

其中,

猜想解答的形式为

将猜想代入微分方程式,可以得到

的极限,最重要的项目是

我们可以察觉,必须与成比例。设定,则的零次幂项目给出

我们立刻认出这是程函方程。解答为

检查的一次幂项目给出

这是一个一维传输方程式。解答为

其中,是任意常数。

我们现在有一对近似解(因为可以是正值或负值)。一般的一阶WKB近似解是这一对近似解的线性组合:

检查的更高幂项目()可以给出:

薛丁格方程式的近似解

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解析一个量子系统的薛丁格方程式,WKB近似涉及以下步骤:

  1. 波函数重写为一个指数函数
  2. 将这指数函数代入薛丁格方程式
  3. 展开指数函数的参数为约化普朗克常数幂级数
  4. 匹配约化普朗克常数同次幂的项目,会得到一组方程式,
  5. 解析这些方程式,就会得到波函数的近似。

一维不含时薛丁格方程式

其中,约化普朗克常数是质量,是坐标,位势是能量,是波函数。

稍加编排,重写为

(1)

假设波函数的形式为另外一个函数的指数(函数作用量有很密切的关系):

代入方程式(1),

(2)

其中,表示随著的导数。

可以分为实值部分与虚值部分。设定两个函数

注意到波函数的波幅是,相位是。将的代表式代入方程式(2),分别匹配实值部分、虚值部分,可以得到两个方程式:

(3)
(4)

半经典近似

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展开为幂级数

将两个幂级数代入方程式(3)与(4)。的零次幂项目给出:

假若波幅变化地足够慢于相位(),那么,我们可以设定

只有当的时候,这方程式才成立。经典运动只会允许这种状况发生。

更精确一点,的一次幂项目给出:

所以,

波函数的波幅是

定义动量,则波函数的近似为

(5)

其中,是常数,是一个任意参考点的坐标。

换到另一方面,假若相位变化地足够慢于波幅(),那么,我们可以设定

只有当的时候,这方程式才成立。经典运动不会允许这种状况发生。只有在量子系统里,才会发生这种状况,称为量子穿隧效应。类似地计算,可以求得波函数的近似为

(6)

其中,

连接公式

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显而易见地,我们可以从分母观察出来,在经典转向点,这两个近似方程式(5)和(6)会发散,无法表示出物理事实。我们必须正确地找到波函数在经典转向点的近似解答。设定是经典运动允许区域。在这区域内,,波函数呈振动形式。其它区域是经典运动不允许区域,波函数呈指数递减形式。假设在经典转向点附近,位势足够的光滑,可以近似为线性函数。更详细地说,在点附近,将 展开为一个幂级数:

其中,是常数值系数。

取至一阶,方程式(1)变为

这微分方程式称为艾里方程式,其解为著名的艾里函数

匹配艾里函数和在的波函数,在的波函数,经过一番繁杂的计算,可以得到在附近的连接公式connection formula[1]

类似地,也可以得到在附近的连接公式:

量子化规则

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在经典运动允许区域内的两个连接公式也必须匹配。设定角变量

那么,

立刻,我们可以认定。匹配相位,假若,那么,

所以,

假若,那么,

所以,

总结,量子系统必须满足量子化守则:

范例

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考虑一个量子谐振子系统,一个质量为的粒子,运动于谐振位势;其中,是角频率。求算其本征能级

能量为的粒子,其运动的古典转向点

所以,

粒子的动量为

将这些变量代入量子化守则:

经过一番运算,可以得到本征能量

借由以上之计算,发现近似解与精确解完全一样。

参阅

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参考文献

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现代文献

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  1. ^ 1.0 1.1 Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7. 
  • Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison-Wesley. 2003. ISBN 0-8053-8714-5. 
  • Sakurai, J. J. Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 1993. ISBN 0-201-53929-2. 
  • Bender, Carl; Orszag, Steven. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. McGraw-Hill. 1978. ISBN 0-07-004452-X. 

历史文献

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