倒數伽瑪函數

Γ函數的倒數

Γ函數（藍色）、Γ函數的倒數（橘色）

Γ函數的倒數的函數圖形

倒數伽瑪函數 1/Γ(z) 的色相環複變函數圖形

在數學中，倒數伽瑪函數（英語：Reciprocal gamma function）是指伽瑪函數的倒數：

$f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}$

其中，Γ(z)代表伽瑪函數。由於伽瑪函數在整個複數平面上皆非零且為亚纯函数，因此其倒數是一個整函数。

倒數伽瑪函數是一個1階整函數，其表示了log log |1/Γ(z)|的成長速度不會高過log |1/Γ(z)|。雖為1階整函數但屬無窮型，也就是說log |1/Γ(z)|的增長速度比任何|z|的倍數都快，因為它的增長與左手平面上的|z| log |z|大致成比例。

由於倒數伽瑪函數不像伽瑪函數快速成長，在程式計算上較伽瑪函數容易，例如其泰勒級數，因此部分軟體使用倒數伽瑪函數作為計算伽瑪函數的起點，一些軟體除了計算伽瑪函數外，會額外提供倒數伽瑪函數。

魏爾斯特拉斯將倒數伽瑪函數稱為「factorielle」表示階乘的倒數，並用於魏尔施特拉斯分解定理的發展。

無窮乘積展開

根據萊昂哈德·歐拉以及卡尔·魏尔斯特拉斯給出的伽瑪函數無窮乘積定義，可以推得倒數伽瑪函數即伽瑪函數之倒數的無窮乘積：

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}$

其中$\gamma \approx 0.577216...$是歐拉-馬斯刻若尼常數。這個乘積展開式對所有複數z都有效。

泰勒級數

倒數伽瑪函數從零展開的泰勒級數為：

${\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\cdots$

其中γ是歐拉-馬斯刻若尼常數。對n > 2的情形，其zⁿ的系數a_n可由遞迴定義求出：

$a_{n}={\frac {a_{2}a_{n-1}-\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{n-j}}{n-1}}$

其中ζ(s)代表黎曼ζ函數。2014年，Fekih-Ahmed發現這些係數可以用積分表示：

$a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\Im [(\log(t)-i\pi )^{n}]dt.$

其前幾項的值為：

n	an
1	+1.0000000000000000000000000000000000000000
2	+0.5772156649015328606065120900824024310422
3	−0.6558780715202538810770195151453904812798
4	−0.0420026350340952355290039348754298187114
5	+0.1665386113822914895017007951021052357178
6	−0.0421977345555443367482083012891873913017
7	−0.0096219715278769735621149216723481989754
8	+0.0072189432466630995423950103404465727099
9	−0.0011651675918590651121139710840183886668
10	−0.0002152416741149509728157299630536478065
11	+0.0001280502823881161861531986263281643234
12	−0.0000201348547807882386556893914210218184
13	−0.0000012504934821426706573453594738330922
14	+0.0000011330272319816958823741296203307449
15	−0.0000002056338416977607103450154130020573
16	+0.0000000061160951044814158178624986828553
17	+0.0000000050020076444692229300556650480600
18	−0.0000000011812745704870201445881265654365
19	+0.0000000001043426711691100510491540332312
20	+0.0000000000077822634399050712540499373114
21	−0.0000000000036968056186422057081878158781
22	+0.0000000000005100370287454475979015481323
23	−0.0000000000000205832605356650678322242954
24	−0.0000000000000053481225394230179823700173
25	+0.0000000000000012267786282382607901588938
26	−0.0000000000000001181259301697458769513765
27	+0.0000000000000000011866922547516003325798
28	+0.0000000000000000014123806553180317815558
29	−0.0000000000000000002298745684435370206592
30	+0.0000000000000000000171440632192733743338

而a_n的近似值為：

$a_{n}\approx (-1)^{n}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sqrt {n}}{n!}}\Im \left(e^{-nz_{0}}{\frac {z_{0}^{1/2-n}}{\sqrt {1+z_{0}}}}\right),$

其中，$z_{0}={\frac {e^{W_{-1}(-n)}}{-n}}$

而$W_{-1}$是分支為負一的朗伯W函数。

漸近展開

當|z|在arg(z)為一固定值的情形下趨於無窮，則有：

$\ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad \qquad {\text{for}}\quad |\arg(z)|<\pi$

以圍線積分表示

倒數伽瑪函數可使用圍線積分（contour integration）表示，此表示法由赫爾曼·漢克爾所提出，其為：

${\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,$

其中，H為漢克爾圍線。

階乘倒數

階乘倒數是指階乘的倒數。其等於所有小於及等於該數的正整數之倒數的積：

$\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{n!}}\quad \forall n\geq 1$

其無窮級數收斂在e：

$\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=e$

由於階乘可以用伽瑪函數來定義，因此階乘倒數也可以表示為：

${\frac {1}{n!}}={\frac {1}{\Gamma (z+1)}}$.

對於$n\geq 1$的正整數，其階乘倒數可以用一個積分表示 ：

${\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-n\imath \vartheta }e^{e^{\imath \vartheta }}\ d\vartheta$.

同理，倒數伽瑪函數也可以用類似的方法表示。對所有的實數$c>0$ 且 $z\in \mathbb {C}$，我們可以寫出倒數伽瑪函數沿著實軸的積分表示式：

${\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+\imath t)^{-z}e^{c+\imath t}dt,$

其中在$z:=n+1/2$的特定情況下，則可獲得雙階乘的倒數與倒數伽瑪函數之關係：

${\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}$

積分

將倒數伽瑪函數在實軸上從零積到無窮的瑕積分為：

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,$（OEIS數列A058655）

這個值又稱為弗朗桑－羅賓遜常數。

參見

• 伽瑪函數
• 反伽瑪函數

參考文獻

1. Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
2. Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function （页面存档备份，存于互联网档案馆）
3. Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
4. Eric W. Weisstein, Gamma Function（页面存档备份，存于互联网档案馆）, MathWorld