在相對論中,四維加速度是牛頓力學中三維加速度的對應推廣,其為一個四維向量。四維加速度應用於反質子湮滅反應、奇異粒子共振、加速電荷的輻射現象等研究領域中。[1]
在狹義相對論的慣性座標系中,四維加速度
定義為四維速度
對一移動物體之原時
的微分,也就是說
,
其中
,應用到三維加速度
與三維速度
;
以及
![{\displaystyle {\dot {\gamma }}_{u}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f2d0327ada231a92e9558b3c2975dde43fd3b4)
應用到速度
(
)下的勞侖茲因子
。變數上方的點代表對本參考系座標時間
的微分,而非對物體原時
的微分。也就是說
)。
在與該物體瞬時共同移動的慣性座標系中
,
以及
。亦即在這樣的參考系中,
。
幾何學上來看,四維加速度是移動物體世界線的曲率向量。[2][3]
因此四維向量的大小(乃一純量)等同於物體沿世界線移動所「感受」到的固有加速度。
一物體的四維速度與四維加速度的內積(純量積)總是為0。
四維加速度與四維力之間有著簡單的關係式:
![{\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d95b17a62b254a03564b36979a135d0225c413)
其中m是物體的不變質量。
當四維力為零,則僅只重力現象影響物體的軌跡,與牛頓第二運動定律相應的四維向量版本簡化為測地線方程式。依測地線移動的物體,其四維加速度為零;這表示重力其實不是一種力,而是受到扭曲的時空幾何。相應地,在牛頓力學,重力被當作一種力,其作用以三維加速度處理。
非慣性座標系,包括了狹義相對論中的加速座標系以及廣義相對論中的任意座標系。在這樣的座標系情況下,四維加速度為四維速度對原時的絕對導數:
![{\displaystyle A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e8ff3d3985d947cab7833d174c3a7dc816eb75)
慣性座標系中,克里斯多福符號
皆為零,所以此式還原成上一節的式子。
值得注意的是:克里斯多福符號是在採用直角座標的慣性系中為零。若選用彎曲座標系以描述加速運動,則克里斯多福符號不全為零。
- ^ Tsamparlis M. Special Relativity Online. Springer Berlin Heidelberg. 2010: 185. ISBN 978-3-642-03837-2.
- ^
Pauli W. Theory of Relativity 1981 Dover. B.G. Teubner, Leipzig. 1921: 74. ISBN 978-0-486-64152-2.
- ^ Synge J.L.; Schild A. Tensor Calculus 1978 Dover. University of Toronto Press. 1949: 149, 153 and 170. ISBN 0-486-63612-7.
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