在数学分析 中，一个函数 集合 被称为等度连续 的，如果其中的函数都是连续 的并且当自变量 变动时，它们的取值都在“相同程度”的范围中浮动。一般来说，集合里的函数是有限个或可数无限个。
等度连续最早出现在阿尔泽拉-阿斯科利定理 中[ 1] [ 2] 紧 豪斯多夫空间 X ，以及建立在它上面的连续函数 的集合C (X )的一个子集，这个子集是紧集当且仅当 它是闭集 。作为结论，C (X ) 里的一个函数序列 一致收敛 当且仅当它是等度连续的，并且逐点收敛 。[ 2]
设
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
拓扑空间 E 射到度量空间 F 的一组函数。
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
∀
ε
>
0
,
∀
x
∈
E
,
∃
V
∈
V
(
x
)
,
∀
i
∈
I
,
∀
y
∈
V
,
d
(
f
i
(
x
)
,
f
i
(
y
)
)
≤
ε
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\forall x\in E,\exists V\in {\mathcal {V}}(x),\forall i\in I,\forall y\in V,d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon }
如果拓扑空间 E 上定义了一个距离 ，那么一组函数
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
∀
ε
>
0
,
∃
η
>
0
,
∀
i
∈
I
,
∀
x
∈
E
,
∀
y
∈
B
(
x
,
η
)
,
d
(
f
i
(
x
)
,
f
i
(
y
)
)
≤
ε
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \eta >0,\forall i\in I,\forall x\in E,\forall y\in B(x,\eta ),d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon }
作为对比，命题 ：“一组函数
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
∀
i
∈
I
,
∀
ε
>
0
,
∀
x
∈
E
,
∃
V
∈
V
(
x
)
,
∀
y
∈
V
,
d
(
f
i
(
x
)
,
f
i
(
y
)
)
≤
ε
{\displaystyle \forall i\in I,\forall \varepsilon >0,\forall x\in E,\exists V\in {\mathcal {V}}(x),\forall y\in V,d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon }
可以看出，对于一般的连续性，邻域 V 的选择是随 i 而变的，也就是说对每个函数，浮动的形式都不一样。而对于等度连续，邻域 V 的选择不随 i 而变，只取决于 x 和
ε
{\displaystyle \varepsilon }
V 的选择只取决于
ε
{\displaystyle \varepsilon }
^ Ascoli, G. (1883–1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521–586 .
^ 2.0 2.1 Arzelà, Cesare . Sulle funzioni di linee. Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 1895, 5 (5): 55–74.
