在數學分析 中，一個函數 集合 被稱為等度連續 的，如果其中的函數都是連續 的並且當自變量 變動時，它們的取值都在「相同程度」的範圍中浮動。一般來說，集合里的函數是有限個或可數無限個。
等度連續最早出現在阿爾澤拉-阿斯科利定理 中[ 1] [ 2] 緊 豪斯多夫空間 X ，以及建立在它上面的連續函數 的集合C (X )的一個子集，這個子集是緊集若且唯若 它是閉集 。作為結論，C (X ) 里的一個函數序列 一致收斂 若且唯若它是等度連續的，並且逐點收斂 。[ 2]
設
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
拓撲空間 E 射到度量空間 F 的一組函數。
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
∀
ε
>
0
,
∀
x
∈
E
,
∃
V
∈
V
(
x
)
,
∀
i
∈
I
,
∀
y
∈
V
,
d
(
f
i
(
x
)
,
f
i
(
y
)
)
≤
ε
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\forall x\in E,\exists V\in {\mathcal {V}}(x),\forall i\in I,\forall y\in V,d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon }
如果拓撲空間 E 上定義了一個距離 ，那麼一組函數
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
∀
ε
>
0
,
∃
η
>
0
,
∀
i
∈
I
,
∀
x
∈
E
,
∀
y
∈
B
(
x
,
η
)
,
d
(
f
i
(
x
)
,
f
i
(
y
)
)
≤
ε
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \eta >0,\forall i\in I,\forall x\in E,\forall y\in B(x,\eta ),d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon }
作為對比，命題 ：「一組函數
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
∀
i
∈
I
,
∀
ε
>
0
,
∀
x
∈
E
,
∃
V
∈
V
(
x
)
,
∀
y
∈
V
,
d
(
f
i
(
x
)
,
f
i
(
y
)
)
≤
ε
{\displaystyle \forall i\in I,\forall \varepsilon >0,\forall x\in E,\exists V\in {\mathcal {V}}(x),\forall y\in V,d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon }
可以看出，對於一般的連續性，鄰域 V 的選擇是隨 i 而變的，也就是說對每個函數，浮動的形式都不一樣。而對於等度連續，鄰域 V 的選擇不隨 i 而變，只取決於 x 和
ε
{\displaystyle \varepsilon }
V 的選擇只取決於
ε
{\displaystyle \varepsilon }
^ Ascoli, G. (1883–1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521–586 .
^ 2.0 2.1 Arzelà, Cesare . Sulle funzioni di linee. Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 1895, 5 (5): 55–74.
