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等度連續

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數學分析中,一個函數集合被稱為等度連續的,如果其中的函數都是連續的並且當自變量變動時,它們的取值都在「相同程度」的範圍中浮動。一般來說,集合里的函數是有限個或可數無限個。

等度連續最早出現在阿爾澤拉-阿斯科利定理[1][2]。阿爾澤拉—阿斯科利定理說明,考慮某個豪斯多夫空間X,以及建立在它上面的連續函數的集合C(X)的一個子集,這個子集是緊集若且唯若它是閉集。作為結論,C(X) 里的一個函數序列一致收斂若且唯若它是等度連續的,並且逐點收斂[2]

定義

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為從拓撲空間 E 射到度量空間 F 的一組函數。 是等度連續的若且唯若

如果拓撲空間 E 上定義了一個距離,那麼一組函數 是一致等度連續的若且唯若

作為對比,命題:「一組函數 全都是連續的」的數學化形式如下:

可以看出,對於一般的連續性,鄰域 V 的選擇是隨 i 而變的,也就是說對每個函數,浮動的形式都不一樣。而對於等度連續,鄰域 V 的選擇不隨 i 而變,只取決於 x。而在一致等度連續中,V 的選擇只取決於 了。

參見

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參考來源

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  1. ^ Ascoli, G. (1883–1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521–586 .
  2. ^ 2.0 2.1 Arzelà, Cesare. Sulle funzioni di linee. Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 1895, 5 (5): 55–74.