尖点

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半立方抛物线x3y2=0在(0,0)处有一尖点

尖点cusp)是曲线中的一种奇点。曲线上的动点在移到尖点时会开始反向移动,右图是一个典型的例子。 给定一个以解析参数式定义的平面曲线:

尖点即为函数fg之导数为零之点,同时方向导数在切线方向会变号(切线方向之斜率为)。尖点是局部的奇点,只牵涉到参数t的一个值,不像自交点牵涉到t的许多值。在某些时候,方向导数变号的条件会省去,此时奇点有可能看起来像一般的点。

以一个光滑隐函数定义的曲线来说,

F泰勒级数展开,当其最低阶项可表为一次多项式的次方时,即为尖点所在处。但是并非所有拥有此性质的奇点都是尖点,由皮瑟级数英语Puiseux series相关定理可知,若F解析函数,则在座标线性变换后,在尖点附近可将曲线参数化成以下形式:

其中a是实数,m是正偶数,S(t)k阶的幂级数且k>mm也是F最低阶项中非零部分的阶数。这些定义已被勒内·托姆弗拉基米尔·阿诺尔德推广至以可微函数定义的曲线,若某点邻域存在微分同胚,将曲线映至以上定义的尖点,则该曲线有尖点。在某些时候,以及以下文章,尖点被限定为二阶尖点,也就是说{{{1}}}。一个平面曲线的二阶尖点可被微分同胚表为x2y2k+1 = 0,其中k是正整数。

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