狄利克雷原理

在数学中的位势论里，狄利克雷原理是关于在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的某个区域 $\Omega$ 上的泊松方程

\Delta u+f=0\,

满足边界条件

在

\partial \Omega

上

u=g\,

的解 u(x) 的刻画。原理说明，u(x) 是使得狄利克雷势能

E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x

最小的几乎处处二次可导，并且在边界 $\partial \Omega$ 上满足 $v=g$ 的函数 $v$ （如果至少存在一个函数使得以上的积分成立的话）。这个原理得名于德国数学家勒热纳·狄利克雷。

由于以上的狄利克雷积分是下有界的，因此必然存在一个下确界。黎曼和其他的数学家都认为下确界一定能够达到，直到魏尔斯特拉斯举出了一个无法达到下确界的泛函的例子。后来希尔伯特严格证明了黎曼对狄利克雷原理的使用之正当性。

证明

以下给出 $g=0$ 时的证明^[1]。假设 u 是使得

E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x

最小的并且几乎处处二次可导，并且在边界 $\partial \Omega$ 上满足 $v=0$ 的函数 $v$ ，那么对于任意一个满足边界条件的函数 $w$ ，任意正实数 $\varepsilon$ 都有：

E[u+\varepsilon w]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u+\varepsilon \nabla w|^{2}-uf-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant \int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u|^{2}-uf\right)\,\mathrm {d} x

即

\int _{\Omega }\left(\varepsilon \nabla u\cdot \nabla w+{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}|\nabla w|^{2}-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant 0

上式左侧是一个关于 $\varepsilon$ 的二次多项式，并且在 $\varepsilon =0$ 的时候取到最小值，所以有：

\int _{\Omega }\left(\nabla u\cdot \nabla w-wf\right)\,\mathrm {d} x=0

另一方面，由于函数 $w$ 满足边界条件，即在 $\partial \Omega$ 上满足 $w=0$ ，因此有：

{\begin{aligned}0&=\int _{\partial \Omega }w\left(\nabla u\cdot \mathbf {n} \right)\,\mathrm {d} \sigma =\int _{\Omega }\operatorname {div} \left(w\cdot \nabla u\right)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{\Omega }\left(w\Delta u+\nabla u\cdot \nabla w\right)\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }w\left(\Delta u+f\right)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}

这个结果对所有满足边界条件的函数 $w$ 都成立，因此根据变分法基本引理，可以得到 $\Delta u+f=0$

^ Mark.A.Prinsky. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems With Applications. Waveland Pr Inc. 2003. ISBN 978-1577662754.

Courant, R., Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces. Appendix by M. Schiffer, Interscience, 1950
Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 978-0821807729
埃里克·韦斯坦因. Dirichlet's Principle. MathWorld.