此條目頁的主題是變分法中的結論。關於組合數學中的原理,請見「
抽屜原理」。
在數學中的位勢論里,狄利克雷原理是關於在
中的某個區域
上的泊松方程
![{\displaystyle \Delta u+f=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab912246ab033dde2b7caaa6e060db68cf71d1df)
滿足邊界條件
- 在
上 ![{\displaystyle u=g\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007dc138541d350da0a01dc1126bf38ae09a12f0)
的解 u(x) 的刻畫。原理說明,u(x) 是使得狄利克雷勢能
![{\displaystyle E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08fef9cd6d5e71aa3a1977a082a1eb098436378)
最小的幾乎處處二次可導,並且在邊界
上滿足
的函數
(如果至少存在一個函數使得以上的積分成立的話)。這個原理得名於德國數學家勒熱納·狄利克雷。
由於以上的狄利克雷積分是下有界的,因此必然存在一個下確界。黎曼和其他的數學家都認為下確界一定能夠達到,直到魏爾斯特拉斯舉出了一個無法達到下確界的泛函的例子。後來希爾伯特嚴格證明了黎曼對狄利克雷原理的使用之正當性。
以下給出
時的證明[1]。假設 u 是使得
![{\displaystyle E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08fef9cd6d5e71aa3a1977a082a1eb098436378)
最小的並且幾乎處處二次可導,並且在邊界
上滿足
的函數
,那麼對於任意一個滿足邊界條件的函數
,任意正實數
都有:
![{\displaystyle E[u+\varepsilon w]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u+\varepsilon \nabla w|^{2}-uf-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant \int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u|^{2}-uf\right)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280e74883633a7264eb391f1b1e9b7e65910ca0f)
即
![{\displaystyle \int _{\Omega }\left(\varepsilon \nabla u\cdot \nabla w+{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}|\nabla w|^{2}-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e48ede31643e391da4a15ca844d8ecbd720a4e)
上式左側是一個關於
的二次多項式,並且在
的時候取到最小值,所以有:
![{\displaystyle \int _{\Omega }\left(\nabla u\cdot \nabla w-wf\right)\,\mathrm {d} x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6015fc5be0cce85f2a3ff9686112b839855c8c0)
另一方面,由於函數
滿足邊界條件,即在
上滿足
,因此有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{\partial \Omega }w\left(\nabla u\cdot \mathbf {n} \right)\,\mathrm {d} \sigma =\int _{\Omega }\operatorname {div} \left(w\cdot \nabla u\right)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{\Omega }\left(w\Delta u+\nabla u\cdot \nabla w\right)\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }w\left(\Delta u+f\right)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50f27511cb10cc0580ccda53e85643c22f222df)
這個結果對所有滿足邊界條件的函數
都成立,因此根據變分法基本引理,可以得到
- ^ Mark.A.Prinsky. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems With Applications. Waveland Pr Inc. 2003. ISBN 978-1577662754.
- Courant, R., Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces. Appendix by M. Schiffer, Interscience, 1950
- Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 978-0821807729
- 埃里克·韋斯坦因. Dirichlet's Principle. MathWorld.