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级数展开

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Approximation of cosine by a Taylor series
一个展示余弦函数被连续截断的麦克劳林级数逼近的动画。

在数学中,级数展开是将一个函数展开成级数,或无穷和的形式。它是一种计算仅靠基本运算符(加、减、乘、除)无法表达的函数的方法。

由此产生的级数往往可以通过仅取有限项,产生近似。序列中使用的项越少,近似就越简单。由于省略的部分和产生的不精确通常可以用包含大O符号的方程来描述。对于非解析函数,开放区间上的级数展开是一个近似值。

级数展开的种类

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这里介绍了若干种级数展开的方式:

泰勒级数是基于函数在一个点上的导数的幂级数。具体来说,如果函数 附近是无限可微的,那么在该点周围的泰勒级数为,按照惯例的麦克劳林级数是其在处的泰勒数列。洛朗级数是泰勒级数的延伸,允许负指数项;它的形式是 并在环内收敛。

广义狄利克雷级数具有 的形式。它的一个重要特例是狄利克雷级数傅里叶级数将周期函数展开成许多正弦和余弦函数之和。更具体地,一个周期为的函数的傅里叶级数为:

其中系数为:

在声学中,基音和泛音共同构成了一个傅里叶数列的例子。


斯特林公式是对数Γ函数的一个近似值。

例子

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下式为泰勒级数

黎曼ζ函数