高斯-勒让德算法

高斯-勒让德算法是一种用于计算圆周率（π）的算法。它以迅速收敛著称，只需25次迭代即可产生π的4500万位正确数字。不过，它的缺点是内存密集，因此有时它不如梅钦类公式使用广泛。

该方法基于德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauß，1777–1855）和法国数学家阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752–1833）的个人成果与乘法和平方根运算之现代算法的结合。该算法反复替换两个数值的算术平均数和几何平均数，以接近它们的算术-几何平均数。

下文的版本也被称为高斯-欧拉，布伦特-萨拉明（或萨拉明-布伦特）算法；它于1975年被理查德·布伦特和尤金·萨拉明独立发现。日本筑波大学于2009年8月17日宣布利用此算法计算出π小数点后2,576,980,370,000位数字，计算结果用波温算法检验。

知名的电脑性能测试程序Super PI也使用此算法。

算法

1. 设置初始值：
   $a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\qquad t_{0}={\frac {1}{4}}\qquad p_{0}=1.\!$
2. 反复执行以下步骤直到$a_{n}\!$与$b_{n}\!$之间的误差到达所需精度：
   ${\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\\t_{n+1}&=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\\p_{n+1}&=2p_{n}.\end{aligned}}$
3. 则π的近似值为：
   $\pi \approx {\frac {(a_{n+1}+b_{n+1})^{2}}{4t_{n+1}}}.\!$

下面给出前三个迭代结果（近似值精确到第一个错误的位数）：

$3.140\dots \!$

$3.14159264\dots \!$

$3.1415926535897932382\dots \!$

该算法具有二阶收敛性，本质上说就是算法每执行一步正确位数就会加倍。

数学背景

算术-几何平均数的极限

a₀和b₀两个数的算术-几何平均数，是通过计算它们的序列极限得到的：

${\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\end{aligned}}$

两者汇聚于同一极限。
若$a_{0}=1\!$且$b_{0}=\cos \varphi \!$，则极限为${\pi \over 2K(\sin \varphi )}\!$，其中$K(k)\!$为第一类完全椭圆积分：

$K(k)=\int _{0}^{\pi \over 2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.\!$

若$c_{0}=\sin \varphi \!$，$c_{i+1}=a_{i}-a_{i+1}\!$，则

$\sum _{i=0}^{\infty }2^{i-1}c_{i}^{2}=1-{E(\sin \varphi ) \over K(\sin \varphi )}\!$

其中$E(k)\!$为第二类完全椭圆积分：

$E(k)=\int _{0}^{\pi \over 2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .\!$

高斯知道以上这两个结果。

勒让德恒等式

对于满足$\varphi +\theta ={1 \over 2}\pi \!$的$\varphi \!$与$\theta \!$，勒让德证明了以下恒等式：

$K(\sin \varphi )E(\sin \theta )+K(\sin \theta )E(\sin \varphi )-K(\sin \varphi )K(\sin \theta )={1 \over 2}\pi \!.$

高斯-欧拉法

$\varphi =\theta ={\pi \over 4}\!$的值可以代入勒让德恒等式，且K、E的近似值可通过$a_{0}=1\!$与$b_{0}=\sin {\pi \over 4}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\!$的算术-几何平均数的序列项得到。