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高斯-勒讓德演算法

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高斯-勒讓德演算法是一種用於計算圓周率(π)的演算法。它以迅速收斂著稱,只需25次迭代即可產生π的4500萬位正確數字。不過,它的缺點是主記憶體密集,因此有時它不如梅欽類公式使用廣泛。

該方法基於德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯Johann Carl Friedrich Gauß,1777–1855)和法國數學家阿德里安-馬里·勒讓德Adrien-Marie Legendre,1752–1833)的個人成果與乘法和平方根運算之現代演算法的結合。該演算法反覆替換兩個數值的算術平均數幾何平均數,以接近它們的算術-幾何平均數

下文的版本也被稱為高斯-歐拉,布倫特-薩拉明(或薩拉明-布倫特)演算法[1];它於1975年被理查德·布倫特尤金·薩拉明獨立發現。日本筑波大學於2009年8月17日宣佈利用此演算法計算出π小數點後2,576,980,370,000位數字,計算結果用波溫演算法檢驗。[2]

知名的電腦效能測試程式Super PI也使用此演算法。

演算法

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  1. 設置初始值:
  2. 反覆執行以下步驟直到之間的誤差到達所需精度:
  3. 則π的近似值為:

下面給出前三個迭代結果(近似值精確到第一個錯誤的位數):

該演算法具有二階收斂性,本質上說就是演算法每執行一步正確位數就會加倍。

數學背景

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算術-幾何平均數的極限

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a0和b0兩個數的算術-幾何平均數,是通過計算它們的序列極限得到的:

兩者匯聚於同一極限。
,則極限為,其中第一類完全橢圓積分

,則

其中第二類完全橢圓積分

高斯知道以上這兩個結果。[3] [4] [5]

勒讓德恆等式

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對於滿足,勒讓德證明了以下恆等式:

[3]

高斯-歐拉法

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的值可以代入勒讓德恆等式,且K、E的近似值可通過的算術-幾何平均數的序列項得到。[6]

參考文獻

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  1. ^ Brent, Richard, Old and New Algorithms for pi, Letters to the Editor, Notices of the AMS 60(1), p. 7
  2. ^ [円周率計算桁数世界記録樹立について (PDF). [2009-11-29]. (原始內容存檔 (PDF)於2020-09-25).  円周率計算桁数世界記録樹立について]
  3. ^ 3.0 3.1 Brent, Richard, Traub, J F , 編, Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation, Analytic Computational Complexity (New York: Academic Press), 1975: 151–176 [8 September 2007], (原始內容存檔於2008-07-23) 
  4. ^ Salamin, Eugene, Computation of pi, Charles Stark Draper Laboratory ISS memo 74–19, 30 January, 1974, Cambridge, Massachusetts
  5. ^ Salamin, Eugene, Computation of pi Using Arithmetic-Geometric Mean, Mathematics of Computation 30 (135), 1976, 30 (135): 565–570, ISSN 0025-5718 
  6. ^ Adlaj, Semjon, An eloquent formula for the perimeter of an ellipse, Notices of the AMS 59(8), p. 1096