拿破仑定理
外观
拿破仑定理是拿破仑发现的平面几何定理:“以任意三角形各边为边分别向外侧作正三角形,则它们的中心(三心)连线必构成一个正三角形。”该正三角形称为拿破仑三角形。如果向内作三角形结论同样成立。
证明
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Napoleon%27s_theorem.svg/220px-Napoleon%27s_theorem.svg.png)
为外侧任意两个正三角形作外接圆,其两圆有2个交点,其中一个交点为中间三角形的顶点,设另外一个交点为,并连接与中间三角形的另外两个顶点,因为在两圆上,所以
因为中间正三角形的顶点在圆心上,且、、是外正三角形外接圆交点的连线,所以⊥、⊥、⊥
因为,,所以,所以,其余二角同理。
基本性质
[编辑]这一定理可以等价描述为:若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形,则它们的顶点构成一个正三角形。
本图形具备下列特征:
- 线段,且该三线段交于一点,该点到ABC三点距离之和等于(或、)。
- 与、与、与互相垂直。
- 之外接圆相交于一点,该点即线段之交点。