拿破侖定理
外觀
拿破崙定理是拿破崙發現的平面幾何定理:「以任意三角形各邊為邊分別向外側作正三角形,則它們的中心(三心)連線必構成一個正三角形。」該正三角形稱為拿破崙三角形。如果向內作三角形結論同樣成立。
證明
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Napoleon%27s_theorem.svg/220px-Napoleon%27s_theorem.svg.png)
為外側任意兩個正三角形作外接圓,其兩圓有2個交點,其中一個交點為中間三角形的頂點,設另外一個交點為,並連接與中間三角形的另外兩個頂點,因為在兩圓上,所以
因為中間正三角形的頂點在圓心上,且、、是外正三角形外接圓交點的連線,所以⊥、⊥、⊥
因為,,所以,所以,其餘二角同理。
基本性質
[編輯]這一定理可以等價描述為:若以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為30°的等腰三角形,則它們的頂點構成一個正三角形。
本圖形具備下列特徵:
- 線段,且該三線段交於一點,該點到ABC三點距離之和等於(或、)。
- 與、與、與互相垂直。
- 之外接圓相交於一點,該點即線段之交點。