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整性

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整性交换代数中的概念,用于描述在有理数的某些扩域中,某些元素是否有类似于整数的性质。元素的整性(是否为整元素)本质上只依赖于的概念。整性与环的整扩张推广了代数数代数扩张的概念。

定义

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以下所论的环皆为含单位元的交换环

设有环ABAB的子环。设tB。若存在以A中元素为系数的首一多项式PA[X],使得P(t) = 0,则称tA上的整元素。如果B的每个元素都是A上的整元素,则称BA的整扩张。

由有限性刻划

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假设同上。环的乘法与加法运算赋予 自然的 -模结构。对于一个元素 ,下述条件彼此等价:

  1. 为整。
  2. 子环 是有限生成的 -
  3. 存在包含 的子环 ,而且 是有限生成的 -模。

此命题最常见的证明是利用关于行列式凯莱-哈密顿定理

闭包性质

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  • (整闭包)利用有限性的刻划,可知 上的整元构成 的子环,称为 中的整闭包。
  • (可递性)考虑环扩张 ,若 的整扩张,而 上为整,则它在 上为整。特别是:若 皆为整扩张,则 亦然。

整同态

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在整性的定义中,子环条件 可以放宽为一个同态 上的整性定义为它对同态像 的整性,整扩张的定义可以类似地推广。透过同态 ,同样可赋予 一个 -模结构,此时有限性判准依然成立。

文献

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  • Atiyah, M. F., and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9