代数几何中,格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是关于相干层上同调的意义深远的结果。它是关于复流形的希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理的推广,其又是对紧黎曼曲面上线丛的经典黎曼-罗赫定理的推广。
黎曼-罗赫型定理将向量丛上同调的欧拉示性数与其拓扑度,或更一般地与其(上)同调中的示性类或其代数类似物联系起来。经典的黎曼-罗赫定理针对的是曲线和线丛,而希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理将其推广到流形上的向量丛。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理将这两个定理置于两个流形(或更一般的概形)之间态射的相对情形中,并将该定理丛关于单一丛的陈述变为适用于层的链复形的陈述。
格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理对阿蒂亚-辛格指标定理的发展影响深远,反过来,格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的复分析类比也可以用族的指标定理来证明。1957年,亚历山大·格罗滕迪克在一份后来出版的手稿中给出了首个证明。、[1]Armand Borel与让-皮埃尔·塞尔撰写并发表了他的证明(1958)。[2]后来,格罗滕迪克与合作者对证明进行了简化与推广。[3]
令X为域上的光滑拟射影概形,凝聚层的有界复形的格罗滕迪克群
规范同构(canonically isomorphic)于秩有限向量丛的有界复形的格罗滕迪克群。利用这种同构,将陈示性(陈类的有理组合)视作一种函子式变换:
![{\displaystyle \mathrm {ch} \colon K_{0}(X)\to A(X,\mathbb {Q} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7a3bd382212b692a0322ce0cd90ff88ba437dd)
其中
是d维的X上的循环的周群,模去有理等价,以有理数张开。若X定义在复数上,则后一个群映射到拓扑上同调群:
![{\displaystyle H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathbb {Q} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/858c46ae08792bfc6c384046953dc85d1a17243b)
现在考虑光滑拟射影概形与
上的层
的有界复形之间的真射
。
格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理涉及前推映射
![{\displaystyle f_{!}=\sum (-1)^{i}R^{i}f_{*}\colon K_{0}(X)\to K_{0}(Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6627412893c867dc0ee7495d10b8a71d0dd65162)
(高阶直像的交替和)与前推
![{\displaystyle f_{*}\colon A(X)\to A(Y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05647b0982cdacb0324ec3631f08c387c2fd199d)
由公式
![{\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b94c91f2884b4497bd070c2f0c879d5824a0892)
其中
是X(的切丛)的Todd属。因此,定理给出了度量上述前推的缺乏交换性的方法,并表明所需的修正函子只取决于X、 Y。事实上,由于Todd属在正合序列中是函子、乘法的,可以将格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式重写为
![{\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (T_{f})),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf6a1a0140823409764ab4b0689c80f3b43c773)
其中
是f的相对切层,定义为元素
。例如,当f是光滑态射时,
就只是向量丛,即沿f的纤维的切丛。
Navarro & Navarro (2017)运用A1同伦论,将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到f是两光滑概形间的真映射。
考虑组合
的适当推广,可将定理推广到非光滑情况;考虑具有紧支集的上同调,可将定理推广到非真(non-proper)情况。
算术黎曼-罗赫定理将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到算术概形(arithmetic scheme)。
希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理(本质上)是Y为点、域为复数域的特例。
有向上同调论的黎曼-罗赫定理由Ivan Panin与Alexander Smirnov提出。[4]它涉及代数有向上同调论之间的乘法(如代数配边)。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是这结果的特殊情况,这时自然会出现陈示性。[5]
域
的光滑射影曲线上秩为
、度为
(定义为其行列式;或等价地,其第一陈类的度)的向量丛
有类似于线丛的黎曼-罗赫形式的公式。若取点
、
,则格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式可理解为
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f5b4df93364b264387e39056d06d1c52b89e2e)
于是
[6]
此式也适于秩为
、度为
的相干层。
格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式的优点之一是可解释为希策布鲁赫-黎曼-罗赫公式的相对版本。例如,光滑态射
的纤维都是等维的(在基变为
时作为拓扑空间是同构的)。在模理论中考虑由模空间
对光滑真空间进行参数化时,这事实非常好用。例如,戴维·芒福德用它推导了代数曲线模空间上的周环关系。[7]
对
属曲线(且无标记点)的模叠
,有通用曲线
,其中
是属
曲线和一个标记点的模叠。然后定义重言类
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\kappa _{l}&=\pi _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\\\mathbb {E} &=\pi _{*}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\lambda _{l}&=c_{l}(\mathbb {E} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a9f95281645eed092142698c958892be504008)
其中
与
是相关的对偶化层。注意
在点
上的纤维,这就是对偶化层
。可利用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理找到光滑轨迹的周环
上的
之和[7] (corollary 6.2),从而找到描述
的
、
间的关系。由于
是光滑德利涅-芒福德叠,可考虑由概形
的覆盖,对某个有限群
可给出
。对
应用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理,可得
![{\displaystyle \mathrm {ch} (\pi _{!}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi _{*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53dd41fedca23fe2c60ed74c6d6e04cc828064f6)
因为
![{\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi _{!}({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}})\cong {\mathcal {O}}_{\tilde {M}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334ef172f1ad35c86f149b0bb3e163f43150f135)
由上式可知
![{\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a65429544acf6d053e0f2c7dd1bba6d2cc0af5)
这样,
的计算可以进一步减少。在偶数维
,
![{\displaystyle {\text{ch}}(\mathbb {E} )_{2k}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0edd6256331416e398774d2ac0fac42c7dc469ae)
另外在1维,
![{\displaystyle \lambda _{1}=c_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684fb79e5e17a786a7fef2ea29df3a50fc9f57d5)
其中
是边界上的一个类。
时,在光滑轨迹
上有如下关系
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {1}{12}}\kappa _{1}\\\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa _{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/297a99ca388e62f94010e82828101f866c67a04a)
可通过分析
的陈示性推得。
闭嵌入
也可用格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式描述,其显示了公式成立的另一种非平凡情形。[8]对
维光滑簇
及余维为
的子簇
,有
![{\displaystyle c_{k}({\mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcaf719f0eccb9af125d4fcf0d155db7b81359fc)
由短正合序列
,
有下式
![{\displaystyle c_{k}({\mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2326f5484e3fd1b9a9835fd1de91aeb0fc3871b)
for the ideal sheaf since
.
过两天都是-黎曼-罗赫公式可用于证明粗糙模空间
(如有尖代数曲线的模空间
)可嵌入到射影空间,因此是准射影簇。这可以通过观察
上的规范相伴层(canonically associated sheaf)、研究相伴线丛的度实现。例如,
[9]有曲线族
![{\displaystyle \pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d6e63665d0f8c23ac8d4f0cadf06d648537679)
有截面
![{\displaystyle s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb5df4a196e361c0d13be13c3e60d4a34233efc)
对应标记点。由于每根纤维都有规范丛
,有相伴线丛
及
于是
![{\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{n}\chi _{g,n}^{(i)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda5366146e377a236a950c4910cabd50febd9e1)
是丰沛线丛[9]:209,因此粗糙模空间
是准射影的。
亚历山大·格罗滕迪克的黎曼-罗赫定理最初是在1956–1957年左右写给让-皮埃尔·塞尔的一封信中提出的。1957年,在第一届波恩工作会议(Bonn Arbeitstagung)上公开发表,随后塞尔和Armand Borel在普林斯顿大学组织了一次研讨会来理解它。最后发表的论文实际上就是Borel–塞尔的论述。
格罗滕迪克方法的意义在于以下几点。首先,格罗滕迪克改变了陈述本身:人们当时认为定理是关于代数簇的,而格罗滕迪克指出其实际上是簇间态射的定理。他找到了正确的推广,使证明变得简单,而结论变得更宽泛。简言之,格罗滕迪克将一种强范畴方法一项艰巨的分析。此外,如上所述,格罗滕迪克引入了K-群,为代数K-理论铺平了道路。
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