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解析解

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解析解,又称为闭式解,是可以用解析表达式来表达的解。 在数学上,如果一个方程或者方程组存在的某些解,是由有限次常见运算的组合给出的形式,则称该方程存在解析解。二次方程的根就是一个解析解的典型例子。在低年级数学的教学当中,解析解也被称为公式解

当解析解不存在时,比如五次以及更高次的代数方程,则该方程只能用数值分析的方法求解近似值。大多数偏微分方程,尤其是非线性偏微分方程,都只有数值解

解析表达式的准确含义依赖于何种运算称为常见运算或常见函数。传统上,只有初等函数被看作常见函数(由于初等函数的运算总是获得初等函数,因此初等函数的运算集合具有闭包性质,所以又称此种解为闭式解),无穷级数序列的极限连分数等都不被看作常见函数。按这种定义,许多累积分布函数无法写成解析表达式。但如果把特殊函数,比如误差函数gamma函数也看作常见函数,则累积分布函数可以写成解析表达式。

在计算机应用中,这些特殊函数因为大多有现成的数值法实现,它们通常被看作常见运算或常见函数。实际上,在计算机的计算过程中,多数基本函数都是用数值法计算的,所以所谓的基本函数和特殊函数对计算机而言并无区别。