詹森多面体列表

詹森多面体是指的所有面都是正多边形但顶点并非均匀的严格凸多面体。即不是柏拉图立体、不是阿基米德立体、不是半正多面体、不是棱柱也不是反棱柱的严格凸正多边形多面体。 1966年，诺曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)）发表了一份包含92种有以上性质的多面体列表，并给出了名称和编号，但他并未证明这种立体仅有92个，但猜想没有其他的这种立体。^[1] 1969年，维克多·扎加勒（Victor Zalgaller）证明了詹森多面体仅有92个，也就是诺曼·詹森给出的多面体列表是完整的。^[2]

另外，也可能构造出具有近似于正多边形面的凸多面体；或可以构造所有面都是正多边形但不要求严格凸的凸多面体。这些多面体被非正式地称为拟詹森多面体；它们的数量无法被确定，后者则有无穷多种。但后者如果加上一个“条件边”的条件，则可以确定其数量为78个，称为条件边正多边形凸多面体^[3]。详细的这些立体可以参见条件边正多边形凸多面体列表^[4]。

下表列出了92种詹森多面体的各项重要性质与数值。每个表都允许按特定栏位的内容来做排序，以便依据特定属性或性质或詹森多面体的名称来进行排序。

列表[编辑]

下表列出詹森多面体的名称与展开图：

$J n$	名称	英语名称
1	正四角锥	Square pyramid
2	正五角锥	Pentagonal pyramid
3	正三角帐塔	Triangular cupola
4	正四角帐塔	Square cupola
5	正五角帐塔	Pentagonal cupola
6	正五角罩帐	Pentagonal rotunda
7	正三角锥柱	Elongated triangular pyramid
8	正四角锥柱	Elongated square pyramid
9	正五角锥柱	Elongated pentagonal pyramid
10	四角锥反角柱	Gyroelongated square pyramid
11	五角锥反角柱	Gyroelongated pentagonal pyramid
12	双三角锥	Triangular bipyramid
13	双五角锥	Pentagonal bipyramid
14	双三角锥柱	Elongated triangular bipyramid
15	双四角锥柱	Elongated square bipyramid
16	双五角锥柱	Elongated pentagonal bipyramid
17	双四角锥反角柱	Gyroelongated square bipyramid
18	三角帐塔柱	Elongated triangular cupola
19	四角帐塔柱	Elongated square cupola
20	五角帐塔柱	Elongated pentagonal cupola
21	正五角罩帐柱	Elongated pentagonal rotunda
22	正三角帐塔反角柱	Gyroelongated triangular cupola
23	正四角帐塔反角柱	Gyroelongated square cupola
24	正五角台塔反角柱	Gyroelongated pentagonal cupola
25	正五角罩帐反角柱	Gyroelongated pentagonal rotunda
26	异相双三角柱	Gyrobifastigium
27	同相双三角台塔	Triangular orthobicupola
28	同相双四角台塔	Square orthobicupola
29	异相双四角台塔	Square gyrobicupola
30	同相双五角台塔	Pentagonal orthobicupola
31	异相双五角台塔	Pentagonal gyrobicupola
32	同相五角台塔丸塔	Pentagonal orthocupolarotunda
33	异相五角台塔丸塔	Pentagonal gyrocupolarotunda
34	同相双五角丸塔（英语：Pentagonal orthobirotunda）	Pentagonal orthobirotunda
35	同相双三角台塔柱（英语：Elongated triangular orthobicupola）	Elongated triangular orthobicupola
36	异相双三角台塔柱（英语：Elongated triangular gyrobicupola）	Elongated triangular gyrobicupola
37	异相双四角台塔柱	Elongated square gyrobicupola
38	同相双五角台塔柱（英语：Elongated pentagonal orthobicupola）	Elongated pentagonal orthobicupola
39	异相双五角台塔柱（英语：Elongated pentagonal gyrobicupola）	Elongated pentagonal gyrobicupola
40	同相五角台塔丸塔柱（英语：Elongated pentagonal orthocupolarotunda）	Elongated pentagonal orthocupolarotunda
41	异相五角台塔丸塔柱（英语：Elongated pentagonal gyrocupolarotunda）	Elongated pentagonal gyrocupolarotunda
42	同相五角双丸塔柱（英语：Elongated pentagonal orthobirotunda）	Elongated pentagonal orthobirotunda
43	异相五角双丸塔柱（英语：Elongated pentagonal gyrobirotunda）	Elongated pentagonal gyrobirotunda
44	双三角台塔反角柱（英语：Gyroelongated triangular bicupola）	Gyroelongated triangular bicupola
45	双四角台塔反角柱（英语：Gyroelongated square bicupola）	Gyroelongated square bicupola
46	双五角台塔反角柱（英语：Gyroelongated pentagonal bicupola）	Gyroelongated pentagonal bicupola
47	五角台塔丸塔反角柱（英语：Gyroelongated pentagonal cupolarotunda）	Gyroelongated pentagonal cupolarotunda
48	双五角丸塔反角柱（英语：Gyroelongated pentagonal birotunda）	Gyroelongated pentagonal birotunda
49	侧锥三角柱	Augmented triangular prism
50	二侧锥三角柱	Biaugmented triangular prism
51	三侧锥三角柱	Triaugmented triangular prism
52	侧锥五角柱	Augmented pentagonal prism
53	间二侧锥五角柱	Biaugmented pentagonal prism
54	侧锥六角柱	Augmented hexagonal prism
55	对二侧锥六角柱	Parabiaugmented hexagonal prism
56	间二侧锥六角柱	Metabiaugmented hexagonal prism
57	三侧锥六角柱	Triaugmented hexagonal prism
58	侧锥正十二面体（英语：Augmented dodecahedron）	Augmented dodecahedron
59	对二侧锥正十二面体（英语：Parabiaugmented dodecahedron）	Parabiaugmented dodecahedron
60	间二侧锥正十二面体（英语：Metabiaugmented dodecahedron）	Metabiaugmented dodecahedron
61	三侧锥正十二面体（英语：Triaugmented dodecahedron）	Triaugmented dodecahedron
62	正二十面体欠邻二侧锥（英语：Metabidiminished icosahedron）	Metabidiminished icosahedron
63	正二十面体欠三侧锥（英语：Tridiminished icosahedron）	Tridiminished icosahedron
64	侧锥正二十面体欠三侧锥（英语：Augmented tridiminished icosahedron）	Augmented tridiminished icosahedron
65	侧台塔截角四面体	Augmented truncated tetrahedron
66	侧台塔截角立方体	Augmented truncated cube
67	对二侧帐塔截角立方体	Biaugmented truncated cube
68	侧台塔截角十二面体（英语：Augmented truncated dodecahedron）	Augmented truncated dodecahedron
69	对二侧台塔截角十二面体（英语：Parabiaugmented truncated dodecahedron）	Parabiaugmented truncated dodecahedron
70	间二侧台塔截角十二面体（英语：Metabiaugmented truncated dodecahedron）	Metabiaugmented truncated dodecahedron
71	三侧台塔截角十二面体（英语：Triaugmented truncated dodecahedron）	Triaugmented truncated dodecahedron
72	单旋侧帐塔小斜方截半二十面体（英语：Gyrate rhombicosidodecahedron）	Gyrate rhombicosidodecahedron
73	对二旋侧台塔小斜方截半二十面体（英语：Parabigyrate rhombicosidodecahedron）	Parabigyrate rhombicosidodecahedron
74	邻二旋侧台塔小斜方截半二十面体（英语：Metabigyrate rhombicosidodecahedron）	Metabigyrate rhombicosidodecahedron
75	三旋侧台塔小斜方截半二十面体（英语：Trigyrate rhombicosidodecahedron）	Trigyrate rhombicosidodecahedron
76	小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Diminished rhombicosidodecahedron）	Diminished rhombicosidodecahedron
77	对单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron）	Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron
78	邻单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron）	Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron
79	二旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron）	Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron
80	小斜方截半二十面体欠对二侧帐塔	Parabidiminished rhombicosidodecahedron
81	小斜方截半二十面体欠邻二侧帐塔（英语：Metabidiminished rhombicosidodecahedron）	Metabidiminished rhombicosidodecahedron
82	单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠二侧台塔	Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron
83	小斜方截半二十面体欠三侧台塔	Tridiminished rhombicosidodecahedron
84	扭棱锲形体	Snub disphenoid
85	扭棱四角反角柱	Snub square antiprism
86	球状屋顶	Sphenocorona
87	侧锥球状屋顶	Augmented sphenocorona
88	加长型球状屋顶	Sphenomegacorona
89	广底加长型球状屋顶	Hebesphenomegacorona
90	五角锥球状屋顶	Disphenocingulum
91	双新月双罩帐	Bilunabirotunda
92	三角广底球状罩帐	Triangular hebesphenorotunda

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说明：

$J n$ – 詹森多面体编号
展开图 – 立体展开成平面的结果

顶点、边、面和对称性[编辑]

下表列出詹森多面体的顶点数、边数和面数，以及特定形状的面数。同时也列出了其对称性：

$J n$	名称	V	E	F	F₃	F₄	F₅	F₆	F₈	F₁₀	对称群（英语：List of spherical symmetry groups）	阶数（英语：Symmetry number）
1	正四角锥	5	8	5	4	1					C_4v, [4], (*44)	8
2	正五角锥	6	10	6	5		1				C_5v, [5], (*55)	10
3	正三角帐塔	9	15	8	4	3		1			C_3v, [3], (*33)	6
4	正四角帐塔	12	20	10	4	5			1		C_4v, [4], (*44)	8
5	正五角帐塔	15	25	12	5	5	1			1	C_5v, [5], (*55)	10
6	正五角罩帐	20	35	17	10		6			1	C_5v, [5], (*55)	10
7	正三角锥柱	7	12	7	4	3					C_3v, [3], (*33)	6
8	正四角锥柱	9	16	9	4	5					C_4v, [4], (*44)	8
9	正五角锥柱	11	20	11	5	5	1				C_5v, [5], (*55)	10
10	四角锥反角柱	9	20	13	12	1					C_4v, [4], (*44)	8
11	五角锥反角柱	11	25	16	15		1				C_5v, [5], (*55)	10
12	双三角锥	5	9	6	6						D_3h, [3,2], (*223)	12
13	双五角锥	7	15	10	10						D_5h, [5,2], (*225)	20
14	双三角锥柱	8	15	9	6	3					D_3h, [3,2], (*223)	12
15	双四角锥柱	10	20	12	8	4					D_4h, [4,2], (*224)	16
16	双五角锥柱	12	25	15	10	5					D_5h, [5,2], (*225)	20
17	双四角锥反角柱	10	24	16	16						D_4d, [2⁺,8], (2*4)	16
18	三角帐塔柱	15	27	14	4	9		1			C_3v, [3], (*33)	6
19	四角帐塔柱	20	36	18	4	13			1		C_4v, [4], (*44)	8
20	五角帐塔柱	25	45	22	5	15	1			1	C_5v, [5], (*55)	10
21	正五角罩帐柱	30	55	27	10	10	6			1	C_5v, [5], (*55)	10
22	正三角帐塔反角柱	15	33	20	16	3		1			C_3v, [3], (*33)	6
23	正四角帐塔反角柱	20	44	26	20	5			1		C_4v, [4], (*44)	8
24	正五角台塔反角柱	25	55	32	25	5	1			1	C_5v, [5], (*55)	10
25	正五角罩帐反角柱	30	65	37	30		6			1	C_5v, [5], (*55)	10
26	异相双三角柱	8	14	8	4	4					D_2d, [2⁺,4], (2*2)	8
27	同相双三角台塔	12	24	14	8	6					D_3h, [3,2], (*223)	12
28	同相双四角台塔	16	32	18	8	10					D_4h, [4,2], (*224)	16
29	异相双四角台塔	16	32	18	8	10					D_4d, [2⁺,8], (2*4)	16
30	同相双五角台塔	20	40	22	10	10	2				D_5h, [5,2], (*225)	20
31	异相双五角台塔	20	40	22	10	10	2				D_5d, [2⁺,10], (2*5)	20
32	同相五角台塔丸塔	25	50	27	15	5	7				C_5v, [5], (*55)	10
33	异相五角台塔丸塔	25	50	27	15	5	7				C_5v, [5], (*55)	10
34	同相双五角丸塔（英语：Pentagonal orthobirotunda）	30	60	32	20		12				D_5h, [5,2], (*225)	20
35	同相双三角台塔柱（英语：Elongated triangular orthobicupola）	18	36	20	8	12					D_3h, [3,2], (*223)	12
36	异相双三角台塔柱（英语：Elongated triangular gyrobicupola）	18	36	20	8	12					D_3d, [2⁺,6], (2*3)	12
37	异相双四角台塔柱	24	48	26	8	18					D_4d, [2⁺,8], (2*4)	16
38	同相双五角台塔柱（英语：Elongated pentagonal orthobicupola）	30	60	32	10	20	2				D_5h, [5,2], (*225)	20
39	异相双五角台塔柱（英语：Elongated pentagonal gyrobicupola）	30	60	32	10	20	2				D_5d, [2⁺,10], (2*5)	20
40	同相五角台塔丸塔柱（英语：Elongated pentagonal orthocupolarotunda）	35	70	37	15	15	7				C_5v, [5], (*55)	10
41	异相五角台塔丸塔柱（英语：Elongated pentagonal gyrocupolarotunda）	35	70	37	15	15	7				C_5v, [5], (*55)	10
42	同相五角双丸塔柱（英语：Elongated pentagonal orthobirotunda）	40	80	42	20	10	12				D_5h, [5,2], (*225)	20
43	异相五角双丸塔柱（英语：Elongated pentagonal gyrobirotunda）	40	80	42	20	10	12				D_5d, [2⁺,10], (2*5)	20
44	双三角台塔反角柱（英语：Gyroelongated triangular bicupola）	18	42	26	20	6					D₃, [3,2]⁺,(223)	6
45	双四角台塔反角柱（英语：Gyroelongated square bicupola）	24	56	34	24	10					D₄, [4,2]⁺, (224)	8
46	双五角台塔反角柱（英语：Gyroelongated pentagonal bicupola）	30	70	42	30	10	2				D₅, [5,2]⁺, (225)	10
47	五角台塔丸塔反角柱（英语：Gyroelongated pentagonal cupolarotunda）	35	80	47	35	5	7				C₅, [5]⁺, (55)	5
48	双五角丸塔反角柱（英语：Gyroelongated pentagonal birotunda）	40	90	52	40		12				D₅, [5,2]⁺, (225)	10
49	侧锥三角柱	7	13	8	6	2					C_2v, [2], (*22)	4
50	二侧锥三角柱	8	17	11	10	1					C_2v, [2], (*22)	4
51	三侧锥三角柱	9	21	14	14						D_3h, [3,2], (*223)	12
52	侧锥五角柱	11	19	10	4	4	2				C_2v, [2], (*22)	4
53	间二侧锥五角柱	12	23	13	8	3	2				C_2v, [2], (*22)	4
54	侧锥六角柱	13	22	11	4	5		2			C_2v, [2], (*22)	4
55	对二侧锥六角柱	14	26	14	8	4		2			D_2h, [2,2], (*222)	8
56	间二侧锥六角柱	14	26	14	8	4		2			C_2v, [2], (*22)	4
57	三侧锥六角柱	15	30	17	12	3		2			D_3h, [3,2], (*223)	12
58	侧锥正十二面体（英语：Augmented dodecahedron）	21	35	16	5		11				C_5v, [5], (*55)	10
59	对二侧锥正十二面体（英语：Parabiaugmented dodecahedron）	22	40	20	10		10				D_5d, [2⁺,10], (2*5)	20
60	间二侧锥正十二面体（英语：Metabiaugmented dodecahedron）	22	40	20	10		10				C_2v, [2], (*22)	4
61	三侧锥正十二面体（英语：Triaugmented dodecahedron）	23	45	24	15		9				C_3v, [3], (*33)	6
62	正二十面体欠邻二侧锥（英语：Metabidiminished icosahedron）	10	20	12	10		2				C_2v, [2], (*22)	4
63	正二十面体欠三侧锥（英语：Tridiminished icosahedron）	9	15	8	5		3				C_3v, [3], (*33)	6
64	侧锥正二十面体欠三侧锥（英语：Augmented tridiminished icosahedron）	10	18	10	7		3				C_3v, [3], (*33)	6
65	侧台塔截角四面体	15	27	14	8	3		3			C_3v, [3], (*33)	6
66	侧台塔截角立方体	28	48	22	12	5			5		C_4v, [4], (*44)	8
67	对二侧帐塔截角立方体	32	60	30	16	10			4		D_4h, [4,2], (*224)	16
68	侧台塔截角十二面体（英语：Augmented truncated dodecahedron）	65	105	42	25	5	1			11	C_5v, [5], (*55)	10
69	对二侧台塔截角十二面体（英语：Parabiaugmented truncated dodecahedron）	70	120	52	30	10	2			10	D_5d, [2⁺,10], (2*5)	20
70	间二侧台塔截角十二面体（英语：Metabiaugmented truncated dodecahedron）	70	120	52	30	10	2			10	C_2v, [2], (*22)	4
71	三侧台塔截角十二面体（英语：Triaugmented truncated dodecahedron）	75	135	62	35	15	3			9	C_3v, [3], (*33)	6
72	单旋侧帐塔小斜方截半二十面体（英语：Gyrate rhombicosidodecahedron）	60	120	62	20	30	12				C_5v, [5], (*55)	10
73	对二旋侧台塔小斜方截半二十面体（英语：Parabigyrate rhombicosidodecahedron）	60	120	62	20	30	12				D_5d, [2⁺,10], (2*5)	20
74	邻二旋侧台塔小斜方截半二十面体（英语：Metabigyrate rhombicosidodecahedron）	60	120	62	20	30	12				C_2v, [2], (*22)	4
75	三旋侧台塔小斜方截半二十面体（英语：Trigyrate rhombicosidodecahedron）	60	120	62	20	30	12				C_3v, [3], (*33)	6
76	小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Diminished rhombicosidodecahedron）	55	105	52	15	25	11			1	C_5v, [5], (*55)	10
77	对单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron）	55	105	52	15	25	11			1	C_5v, [5], (*55)	10
78	邻单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron）	55	105	52	15	25	11			1	C_s, [ ], (*11)	2
79	二旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron）	55	105	52	15	25	11			1	C_s, [ ], (*11)	2
80	小斜方截半二十面体欠对二侧帐塔	50	90	42	10	20	10			2	D_5d, [2⁺,10], (2*5)	20
81	小斜方截半二十面体欠邻二侧帐塔（英语：Metabidiminished rhombicosidodecahedron）	50	90	42	10	20	10			2	C_2v, [2], (*22)	4
82	单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠二侧台塔	50	90	42	10	20	10			2	C_s, [ ], (*11)	2
83	小斜方截半二十面体欠三侧台塔	45	75	32	5	15	9			3	C_3v, [3], (*33)	6
84	扭棱锲形体	8	18	12	12						D_2d, [2⁺,4], (2*2)	8
85	扭棱四角反角柱	16	40	26	24	2					D_4d, [2⁺,8], (2*4)	16
86	球状屋顶	10	22	14	12	2					C_2v, [2], (*22)	4
87	侧锥球状屋顶	11	26	17	16	1					C_s, [ ], (*11)	2
88	加长型球状屋顶	12	28	18	16	2					C_2v, [2], (*22)	4
89	广底加长型球状屋顶	14	33	21	18	3					C_2v, [2], (*22)	4
90	五角锥球状屋顶	16	38	24	20	4					D_2d, [2⁺,4], (2*2)	8
91	双新月双罩帐	14	26	14	8	2	4				D_2h, [2,2], (*222)	8
92	三角广底球状罩帐	18	36	20	13	3	3	1			C_3v, [3], (*33)	6

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说明：

$J n$ – 詹森多面体编号
V – 顶点的数量
E – 边的数量
F – 面（所有的面）的数量
F_n – 仅n边形面的数量
F₃～F₁₀ – F₃：面为三角形的面的数量、F₄：面为正方形的面的数量……以此类推

其中，正四角锥（ $J 1$ ）有最少的顶点（5个）、最少的边（8条）和最少的面（5个）。

三侧台塔截角十二面体（英语：Triaugmented truncated dodecahedron） $J 71$ 具有最多的顶点（75个）和最多的边（135条）。它的面数也是最多的（62个），其他还有单旋侧帐塔小斜方截半二十面体（英语：Gyrate rhombicosidodecahedron） $J 72$ 、对二旋侧台塔小斜方截半二十面体（英语：Parabigyrate rhombicosidodecahedron） $J 73$ 、邻二旋侧台塔小斜方截半二十面体（英语：Metabigyrate rhombicosidodecahedron） $J 74$ 和三旋侧台塔小斜方截半二十面体（英语：Trigyrate rhombicosidodecahedron） $J 75$ 。

表面积[编辑]

由于詹森多面体的所有面都是由正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形或正十边形所组成，代表著其面的边数仅会有3、4、5、6、8或10条，且为正多边形，因此这些正多边形面都会具有相同的边长 $a$ ，因此詹森多面体的表面积 $A$ 可由下式计算得到：

A=\sum _{n=3,4,5,6,8,10}F_{n}A_{n}

其中 $F n$ 是上表中的多边形面数，且正 $n$ 边形的面积 $A n$ 也可由下式计算得到：

A_{n}=\left({\frac {n}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}\right)a^{2}

在詹森多面体的例子中，组成其的正多边形仅有正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形或正十边形，而我们有正三角形的面积 $A 3$ 、正方形的面积 $A 4$ 、正五边形的面积 $A 5$ 、正六边形的面积 $A 6$ 、正八边形 $A 8$ 的面积和正十边形 $A 10$ 的面积公式：

A_{3}={\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}\,a^{2}

A_{4}=a^{2}

A_{5}={\frac {1}{4}}{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\,a^{2}

A_{6}={\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}\,a^{2}

A_{8}=2(1+{\sqrt {2}})\,a^{2}

A_{10}={\frac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,a^{2},

因此可以得出下表的詹森多面体表面积。

$J n$	多面体名称	$A / a 2$ （近似值）	$A / a 2$ （精确值）
1	正四角锥	2.732050808	$1+{\sqrt {3}}$
2	正五角锥	3.885540910	${\frac {1}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
3	正三角帐塔	7.330127019	${\frac {1}{2}}\left(6+5{\sqrt {3}}\right)$
4	正四角帐塔	11.560477932	$7+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$
5	正五角帐塔	16.579749753	${\frac {1}{4}}\left(20+5{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
6	正五角罩帐	22.347200265	${\frac {1}{2}}\left(5{\sqrt {3}}+5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
7	正三角锥柱	4.732050808	$3+{\sqrt {3}}$
8	正四角锥柱	6.732050808	$5+{\sqrt {3}}$
9	正五角锥柱	8.885540910	${\frac {1}{4}}\left(20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
10	正四角锥反角柱	6.196152423	$1+3{\sqrt {3}}$
11	正五角锥反角柱	8.215667929	${\frac {1}{4}}\left(15{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
12	双三角锥	2.598076211	${\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$
13	双五角锥	4.330127019	${\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}$
14	双三角锥柱	5.598076211	${\frac {3}{2}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)$
15	双四角锥柱	7.464101615	$2\left(2+{\sqrt {3}}\right)$
16	双五角锥柱	9.330127019	${\frac {5}{2}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)$
17	双四角锥反角柱	6.928203230	$4{\sqrt {3}}$
18	三角帐塔柱	13.330127019	${\frac {1}{2}}\left(18+5{\sqrt {3}}\right)$
19	四角帐塔柱	19.560477932	$15+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$
20	五角帐塔柱	26.579749753	${\frac {1}{4}}\left(60+5{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
21	正五角罩帐柱	32.347200265	${\frac {1}{2}}\left(20+5{\sqrt {3}}+5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
22	正三角帐塔反角柱	12.526279442	${\frac {1}{2}}\left(6+11{\sqrt {3}}\right)$
23	正四角帐塔反角柱	18.488681163	$7+2{\sqrt {2}}+5{\sqrt {3}}$
24	正五角台塔反角柱	25.240003791	${\frac {1}{4}}\left(20+25{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
25	正五角罩帐反角柱	31.007454303	${\frac {1}{2}}\left(15{\sqrt {3}}+5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
26	异相双三角柱	5.732050808	$4+{\sqrt {3}}$
27	同相双三角台塔	9.464101615	$2\left(3+{\sqrt {3}}\right)$
28	同相双四角台塔	13.464101615	$2\left(5+{\sqrt {3}}\right)$
29	异相双四角台塔	13.464101615	$2\left(5+{\sqrt {3}}\right)$
30	同相双五角台塔	17.771081820	${\frac {1}{2}}\left(20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
31	异相双五角台塔	17.771081820	${\frac {1}{2}}\left(20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
32	同相五角台塔丸塔	23.538532333	${\frac {1}{4}}\left(20+15{\sqrt {3}}+7{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
33	异相五角台塔丸塔	23.538532333	${\frac {1}{4}}\left(20+15{\sqrt {3}}+7{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
34	同相双五角丸塔（英语：Pentagonal orthobirotunda）	29.305982845	$5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}$
35	同相双三角台塔柱（英语：Elongated triangular orthobicupola）	15.464101615	$2\left(6+{\sqrt {3}}\right)$
36	异相双三角台塔柱（英语：Elongated triangular gyrobicupola）	15.464101615	$2\left(6+{\sqrt {3}}\right)$
37	异相双四角台塔柱	21.464101615	$2\left(9+{\sqrt {3}}\right)$
38	同相双五角台塔柱（英语：Elongated pentagonal orthobicupola）	27.771081820	${\frac {1}{2}}\left(40+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
39	异相双五角台塔柱（英语：Elongated pentagonal gyrobicupola）	27.771081820	${\frac {1}{2}}\left(40+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
40	同相五角台塔丸塔柱（英语：Elongated pentagonal orthocupolarotunda）	33.538532333	${\frac {1}{4}}\left(60+15{\sqrt {3}}+7{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
41	异相五角台塔丸塔柱（英语：Elongated pentagonal gyrocupolarotunda）	33.538532333	${\frac {1}{4}}\left(60+15{\sqrt {3}}+7{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
42	同相五角双丸塔柱（英语：Elongated pentagonal orthobirotunda）	39.305982845	$10+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}$
43	异相五角双丸塔柱（英语：Elongated pentagonal gyrobirotunda）	39.305982845	$10+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}$
44	双三角台塔反角柱（英语：Gyroelongated triangular bicupola）	14.660254038	$6+5{\sqrt {3}}$
45	双四角台塔反角柱（英语：Gyroelongated square bicupola）	20.392304845	$2\left(5+3{\sqrt {3}}\right)$
46	双五角台塔反角柱（英语：Gyroelongated pentagonal bicupola）	26.431335858	${\frac {1}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
47	五角台塔丸塔反角柱（英语：Gyroelongated pentagonal cupolarotunda）	32.198786370	${\frac {1}{4}}\left(20+35{\sqrt {3}}+7{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
48	双五角丸塔反角柱（英语：Gyroelongated pentagonal birotunda）	37.966236883	$10{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}$
49	侧锥三角柱	4.598076211	${\frac {1}{2}}\left(4+3{\sqrt {3}}\right)$
50	二侧锥三角柱	5.330127019	${\frac {1}{2}}\left(2+5{\sqrt {3}}\right)$
51	三侧锥三角柱	6.062177826	${\frac {7{\sqrt {3}}}{2}}$
52	侧锥五角柱	9.173005609	${\frac {1}{2}}\left(8+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
53	间二侧锥五角柱	9.905056416	${\frac {1}{2}}\left(6+4{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
54	侧锥六角柱	11.928203230	$5+4{\sqrt {3}}$
55	对二侧锥六角柱	12.660254038	$4+5{\sqrt {3}}$
56	间二侧锥六角柱	12.660254038	$4+5{\sqrt {3}}$
57	三侧锥六角柱	13.392304845	$3\left(1+2{\sqrt {3}}\right)$
58	侧锥正十二面体（英语：Augmented dodecahedron）	21.090314916	${\frac {1}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
59	对二侧锥正十二面体（英语：Parabiaugmented dodecahedron）	21.534901025	${\frac {5}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
60	间二侧锥正十二面体（英语：Metabiaugmented dodecahedron）	21.534901025	${\frac {5}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
61	三侧锥正十二面体（英语：Triaugmented dodecahedron）	21.979487134	${\frac {3}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
62	正二十面体欠邻二侧锥（英语：Metabidiminished icosahedron）	7.771081820	${\frac {1}{2}}\left(5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
63	正二十面体欠三侧锥（英语：Tridiminished icosahedron）	7.326495711	${\frac {1}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
64	侧锥正二十面体欠三侧锥（英语：Augmented tridiminished icosahedron）	8.192521115	${\frac {1}{4}}\left(7{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
65	侧台塔截角四面体	14.258330249	${\frac {1}{2}}\left(6+13{\sqrt {3}}\right)$
66	侧台塔截角立方体	34.338288046	$15+10{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}$
67	对二侧帐塔截角立方体	36.241911729	$2\left(9+4{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}}\right)$
68	侧台塔截角十二面体（英语：Augmented truncated dodecahedron）	102.182092220	${\frac {1}{4}}\left(20+25{\sqrt {3}}+110{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
69	对二侧台塔截角十二面体（英语：Parabiaugmented truncated dodecahedron）	103.373424287	${\frac {1}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+50{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
70	间二侧台塔截角十二面体（英语：Metabiaugmented truncated dodecahedron）	103.373424287	${\frac {1}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+50{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
71	三侧台塔截角十二面体（英语：Triaugmented truncated dodecahedron）	104.564756354	${\frac {1}{4}}\left(60+35{\sqrt {3}}+90{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
72	单旋侧帐塔小斜方截半二十面体（英语：Gyrate rhombicosidodecahedron）	59.305982845	$30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}$
73	对二旋侧台塔小斜方截半二十面体（英语：Parabigyrate rhombicosidodecahedron）	59.305982845	$30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}$
74	邻二旋侧台塔小斜方截半二十面体（英语：Metabigyrate rhombicosidodecahedron）	59.305982845	$30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}$
75	三旋侧台塔小斜方截半二十面体（英语：Trigyrate rhombicosidodecahedron）	59.305982845	$30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}$
76	小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Diminished rhombicosidodecahedron）	58.114650778	${\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
77	对单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron）	58.114650778	${\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
78	邻单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron）	58.114650778	${\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
79	二旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron）	58.114650778	${\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
80	小斜方截半二十面体欠对二侧帐塔	56.923318711	${\frac {5}{2}}\left(8+{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
81	小斜方截半二十面体欠邻二侧帐塔（英语：Metabidiminished rhombicosidodecahedron）	56.923318711	${\frac {5}{2}}\left(8+{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
82	单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠二侧台塔	56.923318711	${\frac {5}{2}}\left(8+{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
83	小斜方截半二十面体欠三侧台塔	55.731986644	${\frac {1}{4}}\left(60+5{\sqrt {3}}+30{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+9{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
84	扭棱锲形体	5.196152423	$3{\sqrt {3}}$
85	扭棱四角反角柱	12.392304845	$2\left(1+3{\sqrt {3}}\right)$
86	球状屋顶	7.196152423	$2+3{\sqrt {3}}$
87	侧锥球状屋顶	7.928203230	$1+4{\sqrt {3}}$
88	加长型球状屋顶	8.928203230	$2\left(1+2{\sqrt {3}}\right)$
89	广底加长型球状屋顶	10.794228634	${\frac {3}{2}}\left(2+3{\sqrt {3}}\right)$
90	五角锥球状屋顶	12.660254038	$4+5{\sqrt {3}}$
91	双新月双罩帐	12.346011217	$2+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}$
92	三角广底球状罩帐	16.388673538	${\frac {1}{4}}\left(12+19{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$

在固定边长的条件下，双三角锥 $J 12$ 的表面积最小，而三侧台塔截角十二面体（英语：Triaugmented truncated dodecahedron） $J 71$ 的表面积最大，两者相差40倍以上。

体积[编辑]

下表列出了詹森多面体的体积。在这个表格中， $V$ 代表体积（不是第一个表中的顶点数），而 $a$ 代表边长。

表格的资料来源是沃尔夫勒姆研究公司的Mathematica软体中提供的PolyhedronData[..., "Volume"]计算多面体体积的指令。

詹森多面体的体积也可以根据其顶点座标来计算出来。如果边长是固定的，那么所有92个詹森多面体的顶点座标就都是已知的。如此一来，就可以用此资讯来计算体积。概念上最简单的作法是：对要算体积的詹森多面体之表面做三角化，例如在每个非三角形面的中心添加一个额外的点，然后将之与该面的其他顶点连接构成多个三角形（并不是所有凸多面体都可以不添加额外顶点就完成三角剖分（英语：Triangulation (geometry)）^[5]）。完成表面的三角化后选择一些内部点作为“原点”，这样就可以把表面的三角形与内部所选的点构造成不规则四面体。这些不规则四面体在多面体内部有一个顶点、在多面体表面有3个顶点，而詹森多面体的体积就是这些不规则四面体的体积总和。不规则四面体的体积可以透过公式计算。

$J n$	多面体名称	$V / a 3$ （近似值）	$V / a 3$ （精确值）
1	正四角锥	0.235702260	${\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}$
2	正五角锥	0.301502832	${\frac {1}{24}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)$
3	正三角帐塔	1.178511302	${\frac {5}{3{\sqrt {2}}}}$
4	正四角帐塔	1.942809042	$1+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}$
5	正五角帐塔	2.324045318	${\frac {1}{6}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)$
6	正五角罩帐	6.917762968	${\frac {1}{12}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)$
7	正三角锥柱	0.550863832	${\frac {1}{12}}\left({\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)$
8	正四角锥柱	1.235702260	${\frac {1}{6}}\left(6+{\sqrt {2}}\right)$
9	正五角锥柱	2.021980233	${\frac {1}{24}}\left(5+{\sqrt {5}}+6{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
10	正四角锥反角柱	1.192702242	${\frac {1}{6}}\left({\sqrt {2}}+2{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}\right)$
11	正五角锥反角柱	1.880192158	${\frac {1}{24}}\left(25+9{\sqrt {5}}\right)$
12	双三角锥	0.235702260	${\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}$
13	双五角锥	0.603005665	${\frac {1}{12}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)$
14	双三角锥柱	0.668714962	${\frac {1}{12}}\left(2{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)$
15	双四角锥柱	1.471404521	${\frac {1}{3}}\left(3+{\sqrt {2}}\right)$
16	双五角锥柱	2.323483065	${\frac {1}{12}}\left(5+{\sqrt {5}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
17	双四角锥反角柱	1.428404503	${\frac {1}{3}}\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}\right)$
18	三角帐塔柱	3.776587513	${\frac {1}{6}}\left(5{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)$
19	四角帐塔柱	6.771236166	$3+{\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}$
20	五角帐塔柱	10.018254161	${\frac {1}{6}}\left(5+4{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$
21	正五角罩帐柱	14.611971811	${\frac {1}{12}}\left(45+17{\sqrt {5}}+30{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$
22	正三角帐塔反角柱	3.516053091	${\frac {1}{3}}{\sqrt {{\frac {61}{2}}+18{\sqrt {3}}+30{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}}}$
23	正四角帐塔反角柱	6.210765792	8次方程的根
24	正五角台塔反角柱	9.073333194	8次方程的根
25	正五角罩帐反角柱	13.667050844	8次方程的根
26	异相双三角柱	0.866025404	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$
27	同相双三角台塔	2.357022604	${\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}$
28	同相双四角台塔	3.885618083	$2+{\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}$
29	异相双四角台塔	3.885618083	$2+{\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}$
30	同相双五角台塔	4.648090637	${\frac {1}{3}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)$
31	异相双五角台塔	4.648090637	${\frac {1}{3}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)$
32	同相五角台塔丸塔	9.241808286	${\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)$
33	异相五角台塔丸塔	9.241808286	${\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)$
34	同相双五角丸塔（英语：Pentagonal orthobirotunda）	13.835525936	${\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)$
35	同相双三角台塔柱（英语：Elongated triangular orthobicupola）	4.955098815	${\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$
36	异相双三角台塔柱（英语：Elongated triangular gyrobicupola）	4.955098815	${\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$
37	异相双四角台塔柱	8.714045208	$4+{\frac {10{\sqrt {2}}}{3}}$
38	同相双五角台塔柱（英语：Elongated pentagonal orthobicupola）	12.342299480	${\frac {1}{6}}\left(10+8{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$
39	异相双五角台塔柱（英语：Elongated pentagonal gyrobicupola）	12.342299480	${\frac {1}{6}}\left(10+8{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$
40	同相五角台塔丸塔柱（英语：Elongated pentagonal orthocupolarotunda）	16.936017129	${\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$
41	异相五角台塔丸塔柱（英语：Elongated pentagonal gyrocupolarotunda）	16.936017129	${\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$
42	同相五角双丸塔柱（英语：Elongated pentagonal orthobirotunda）	21.529734779	${\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$
43	异相五角双丸塔柱（英语：Elongated pentagonal gyrobirotunda）	21.529734779	${\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$
44	双三角台塔反角柱（英语：Gyroelongated triangular bicupola）	4.694564393	${\frac {1}{3}}{\sqrt {68+18{\sqrt {3}}+60{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}}}$
45	双四角台塔反角柱（英语：Gyroelongated square bicupola）	8.153574834	8次方程的根
46	双五角台塔反角柱（英语：Gyroelongated pentagonal bicupola）	11.397378512	8次方程的根
47	五角台塔丸塔反角柱（英语：Gyroelongated pentagonal cupolarotunda）	15.991096162	8次方程的根
48	双五角丸塔反角柱（英语：Gyroelongated pentagonal birotunda）	20.584813812	8次方程的根
49	侧锥三角柱	0.668714962	${\frac {1}{12}}\left(2{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)$
50	二侧锥三角柱	0.904417223	${\sqrt {{\frac {59}{144}}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}}}$
51	三侧锥三角柱	1.140119483	${\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}$
52	侧锥五角柱	1.956179661	${\frac {1}{12}}{\sqrt {233+90{\sqrt {5}}+12{\sqrt {50+20{\sqrt {5}}}}}}$
53	间二侧锥五角柱	2.191881921	${\frac {1}{12}}{\sqrt {257+90{\sqrt {5}}+24{\sqrt {50+20{\sqrt {5}}}}}}$
54	侧锥六角柱	2.833778472	${\frac {1}{6}}\left({\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)$
55	对二侧锥六角柱	3.069480732	${\frac {1}{6}}\left(2{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)$
56	间二侧锥六角柱	3.069480732	${\frac {1}{6}}\left(2{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)$
57	三侧锥六角柱	3.305182993	${\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$
58	侧锥正十二面体（英语：Augmented dodecahedron）	7.964621793	${\frac {1}{24}}\left(95+43{\sqrt {5}}\right)$
59	对二侧锥正十二面体（英语：Parabiaugmented dodecahedron）	8.266124625	${\frac {1}{6}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)$
60	间二侧锥正十二面体（英语：Metabiaugmented dodecahedron）	8.266124625	${\frac {1}{6}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)$
61	三侧锥正十二面体（英语：Triaugmented dodecahedron）	8.567627458	${\frac {5}{8}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)$
62	正二十面体欠邻二侧锥（英语：Metabidiminished icosahedron）	1.578689326	${\frac {1}{6}}\left(5+2{\sqrt {5}}\right)$
63	正二十面体欠三侧锥（英语：Tridiminished icosahedron）	1.277186493	${\frac {5}{8}}+{\frac {7{\sqrt {5}}}{24}}$
64	侧锥正二十面体欠三侧锥（英语：Augmented tridiminished icosahedron）	1.395037624	${\frac {1}{24}}\left(15+2{\sqrt {2}}+7{\sqrt {5}}\right)$
65	侧台塔截角四面体	3.889087297	${\frac {11}{2{\sqrt {2}}}}$
66	侧台塔截角立方体	15.542472333	$8+{\frac {16{\sqrt {2}}}{3}}$
67	对二侧帐塔截角立方体	17.485281374	$9+6{\sqrt {2}}$
68	侧台塔截角十二面体（英语：Augmented truncated dodecahedron）	87.363709878	${\frac {505}{12}}+{\frac {81{\sqrt {5}}}{4}}$
69	对二侧台塔截角十二面体（英语：Parabiaugmented truncated dodecahedron）	89.687755196	${\frac {1}{12}}\left(515+251{\sqrt {5}}\right)$
70	间二侧台塔截角十二面体（英语：Metabiaugmented truncated dodecahedron）	89.687755196	${\frac {1}{12}}\left(515+251{\sqrt {5}}\right)$
71	三侧台塔截角十二面体（英语：Triaugmented truncated dodecahedron）	92.011800514	${\frac {7}{12}}\left(75+37{\sqrt {5}}\right)$
72	单旋侧帐塔小斜方截半二十面体（英语：Gyrate rhombicosidodecahedron）	41.615323782	$20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}$
73	对二旋侧台塔小斜方截半二十面体（英语：Parabigyrate rhombicosidodecahedron）	41.615323782	$20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}$
74	邻二旋侧台塔小斜方截半二十面体（英语：Metabigyrate rhombicosidodecahedron）	41.615323782	$20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}$
75	三旋侧台塔小斜方截半二十面体（英语：Trigyrate rhombicosidodecahedron）	41.615323782	$20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}$
76	小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Diminished rhombicosidodecahedron）	39.291278464	${\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}$
77	对单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron）	39.291278464	${\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}$
78	邻单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron）	39.291278464	${\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}$
79	二旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔（英语：Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron）	39.291278464	${\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}$
80	小斜方截半二十面体欠对二侧帐塔	36.967233146	${\frac {5}{3}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)$
81	小斜方截半二十面体欠邻二侧帐塔（英语：Metabidiminished rhombicosidodecahedron）	36.967233146	${\frac {5}{3}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)$
82	单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠二侧台塔	36.967233146	${\frac {5}{3}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)$
83	小斜方截半二十面体欠三侧台塔	34.643187827	${\frac {35}{2}}+{\frac {23{\sqrt {5}}}{3}}$
84	扭棱锲形体	0.859493646	6次方程的根
85	扭棱四角反角柱	3.601222010	12次方程的根
86	球状屋顶	1.515351640	${\frac {1}{2}}{\sqrt {1+3{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {13+3{\sqrt {6}}}}}}$
87	侧锥球状屋顶	1.751053900	16次方程的根
88	加长型球状屋顶	1.948108229	32次方程的根
89	广底加长型球状屋顶	2.912910415	20次方程的根
90	五角锥球状屋顶	3.777645342	24次方程的根
91	双新月双罩帐	3.093717650	${\frac {1}{12}}\left(17+9{\sqrt {5}}\right)$
92	三角广底球状罩帐	5.108745974	${\frac {5}{2}}+{\frac {7{\sqrt {5}}}{6}}$

在固定边长的条件下，正四角锥 $J 1$ 和双三角锥 $J 12$ 的体积最小；而三侧台塔截角十二面体（英语：Triaugmented truncated dodecahedron） $J 71$ 的体积最大，比前者大超过390倍。

在92种詹森多面体中，有13种詹森多面体的体积 $V / a 3$ 无法表达为解析数。这些数值是以下多项式的最大实根。

$J n$	多项式
23	$6561 x 8 - 52488 x 7 + 113724 x 6 - 9720 x 5 - 1616922 x 4 + 396360 x 3 + 1537020 x 2 - 178632 x - 3391$
24	$1679616 x 8 - 11197440 x 7 + 27060480 x 6 + 35769600 x 5 - 4456749600 x 4 - 10714248000 x 3 + 3828402000 x 2 + 13859430000 x + 5340175625$
25	$1679616 x 8 - 50388480 x 7 + 603262080 x 6 - 3520972800 x 5 + 5215460400 x 4 + 4128624000 x 3 - 8894943000 x 2 + 3881385000 x - 424924375$
45	$6561 x 8 - 104976 x 7 + 594864 x 6 - 1384128 x 5 - 552096 x 4 + 1569024 x 3 + 246528 x 2 - 119808 x + 4352$
46	$6561 x 8 - 87480 x 7 + 313470 x 6 + 753300 x 5 - 22424850 x 4 - 84591000 x 3 - 85909500 x 2 + 8715000 x + 35547500$
47	$1679616 x 8 - 61585920 x 7 + 851472000 x 6 - 5108832000 x 5 + 4745790000 x 4 + 21346200000 x 3 - 29019375000 x 2 - 4576875000 x - 405859375$
48	$6561 x 8 - 393660 x 7 + 9316620 x 6 - 108207900 x 5 + 601832025 x 4 - 1417189500 x 3 + 965841750 x 2 + 597667500 x - 668786875$
84	$5832 x 6 - 1377 x 4 - 2160 x 2 - 4$
85	$531441 x 12 - 85726026 x 8 - 48347280 x 6 + 11588832 x 4 + 4759488 x 2 - 892448$
87	$45137758519296 x 16 - 110336743047168 x 14 - 191069246324736 x 12 + 209269081571328 x 10 + 364547659290624 x 8 - 58793017190400 x 6 + 3306865979520 x 4 - 1275399855936 x 2 + 1439671249$
88	$521578814501447328359509917696 x 32 - 985204427391622731345740955648 x 30 - 16645447351681991898880656015360 x 28 + 79710816694053483249372512649216 x 26 - 152195045391070538203422101864448 x 24 + 156280253448056209478031589244928 x 22 - 96188116617075838858708654227456 x 20 + 30636368373570166303441645731840 x 18 + 5828527077458909552923002273792 x 16 - 8060049780765551057159394951168 x 14 + 1018074792115156107372011716608 x 12 + 35220131544370794950945931264 x 10 + 327511698517355918956755959808 x 8 - 116978732884218191486738706432 x 6 + 10231563774949176791703149568 x 4 - 366323949299263261553952192 x 2 + 3071435678740442112675625$
89	$47330370277129322496 x 20 - 722445512980071186432 x 18 + 3596480447590271287296 x 16 - 8432333285523990773760 x 14 + 8973584611317745975296 x 12 - 3065290664181478981632 x 10 + 366229890219212144640 x 8 - 8337259437908852736 x 6 - 22211277300912896 x 4 + 132615435213216 x 2 + 2693461945329$
90	$1213025622610333925376 x 24 + 54451372392730545094656 x 22 - 796837093078664749252608 x 20 - 4133410366404688544268288 x 18 + 20902529024429842816303104 x 16 - 133907540390420673677230080 x 14 + 246234688242991598853881856 x 12 - 63327534106871321714442240 x 10 + 14389309497459555704164608 x 8 + 48042947402464500749392128 x 6 - 5891096640600351061013664 x 4 - 3212114716816853362953264 x 2 + 479556973248657693884401$

内切球半径、中分球半径和外接球半径[编辑]

下表列出了存在内切球、中分球和外接球之詹森多面体的各种球半径（内切球半径 $R i$ 、中分球半径 $R m$ 或外接球半径 $R c$ ，不存在则不列出）与边长之比。

詹森多面体不一定有内切球、中分球和外接球。比方说，除非该詹森多面体的所有顶点都位于某个球面上，否则这个詹森多面体不会存在外接球。詹森多面体的对称性比正多面体低，因此很多詹森多面体不存在这些球体。只有正四角锥 $J 1$ 和正五角锥 $J 2$ 这两个立体三种球都存在。

表格内容的资料来源是来自沃尔夫勒姆研究公司的Mathematica软体提供的PolyhedronData[..., "Inradius"]、 PolyhedronData[..., "Midradius"]和 PolyhedronData[..., "Circumradius"]指令。输出的数值已被化简过了。

$J n$	$R i /a$ （近似值）	$R i /a$ （精确值）	$R m /a$ （近似值）	$R m /a$ （精确值）	$R c /a$ （近似值）	$R c /a$ （精确值）
1	0.258819045	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}$	0.500000000	${\frac {1}{2}}$	0.707106781	${\frac {1}{\sqrt {2}}}$
2	0.232788309	${\frac {1}{\sqrt {25-7{\sqrt {5}}+{\sqrt {30\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}}$	0.809016994	${\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$	0.951056516	${\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$
3	-	-	0.866025404	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	1.000000000	$1$
4	-	-	1.306562965	${\sqrt {1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$	1.398966326	${\sqrt {{\frac {5}{4}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$
5	-	-	2.176250899	${\sqrt {{\frac {5}{2}}+{\sqrt {5}}}}$	2.232950509	${\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}$
6	-	-	1.538841769	${\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	1.618033989	${\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$
7	-	-	-	-	-	-
8	-	-	-	-	-	-
9	-	-	-	-	-	-
10	-	-	-	-	-	-
11	-	-	0.809016994	${\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$	0.951056516	${\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$
12	0.272165527	${\frac {\sqrt {\frac {2}{3}}}{3}}$	-	-	-	-
13	0.417774579	${\sqrt {{\frac {1}{30}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)}}$	-	-	-	-
14	-	-	-	-	-	-
15	-	-	-	-	-	-
16	-	-	-	-	-	-
17	-	-	-	-	-	-
18	-	-	-	-	-	-
19	-	-	1.306562965	${\sqrt {1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$	1.398966326	${\sqrt {{\frac {5}{4}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$
20	-	-	-	-	-	-
21	-	-	-	-	-	-
22	-	-	-	-	-	-
23	-	-	-	-	-	-
24	-	-	-	-	-	-
25	-	-	-	-	-	-
26	-	-	-	-	-	-
27	-	-	0.866025404	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	1.000000000	$1$
28	-	-	-	-	-	-
29	-	-	-	-	-	-
30	-	-	-	-	-	-
31	-	-	-	-	-	-
32	-	-	-	-	-	-
33	-	-	-	-	-	-
34	-	-	1.538841769	${\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	1.618033989	${\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$
35	-	-	-	-	-	-
36	-	-	-	-	-	-
37	-	-	1.306562965	${\sqrt {1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$	1.398966326	${\sqrt {{\frac {5}{4}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$
38	-	-	-	-	-	-
39	-	-	-	-	-	-
40	-	-	-	-	-	-
41	-	-	-	-	-	-
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60	-	-	-	-	-	-
61	-	-	-	-	-	-
62	-	-	0.809016994	${\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$	0.951056516	${\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$
63	-	-	0.809016994	${\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$	0.951056516	${\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$
64	-	-	-	-	-	-
65	-	-	-	-	-	-
66	-	-	-	-	-	-
67	-	-	-	-	-	-
68	-	-	-	-	-	-
69	-	-	-	-	-	-
70	-	-	-	-	-	-
71	-	-	-	-	-	-
72	-	-	2.176250899	${\sqrt {{\frac {5}{2}}+{\sqrt {5}}}}$	2.232950509	${\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}$
73	-	-	2.176250899	${\sqrt {{\frac {5}{2}}+{\sqrt {5}}}}$	2.232950509	${\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}$
74	-	-	2.176250899	${\sqrt {{\frac {5}{2}}+{\sqrt {5}}}}$	2.232950509	${\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}$
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参见[编辑]

詹森多面体

参考文献[编辑]

^ Johnson, Norman W. Convex Solids with Regular Faces. Canadian Journal of Mathematics. 1966, 18: 169–200. ISSN 0008-414X. Zbl 0132.14603. doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .
^ Zalgaller, Victor A. Convex Polyhedra with Regular Faces. Zap. Nauchn. Semin. Leningr. Otd. Mat. Inst. Steklova. 1967, 2: 1–221. ISSN 0373-2703. Zbl 0165.56302 （俄语）.
^ Robert R Tupelo-Schneck. Convex regular-faced polyhedra with conditional edges. [2023-01-31]. （原始内容存档于2021-08-18）.
^ Timofeenko, Aleksei Victorovich. Junction of noncomposite polygons. Algebra i Analiz (St. Petersburg Department of Steklov Institute of Mathematics, Russian~…). 2009, 21 (3): 165–209.
^ D. Eppstein（英语：David Eppstein）. Three Untetrahedralizable Objects. www.ics.uci.edu. [2022-05-25]. （原始内容存档于2021-01-26）.

外部链接[编辑]

Sylvain Gagnon, "Convex polyhedra with regular faces^{[永久失效链接]}", Structural Topology, No. 6, 1982, 83-95.
Johnson Solids （页面存档备份，存于互联网档案馆） by George W. Hart.
Images of all 92 solids, categorized, on one page
埃里克·韦斯坦因. Johnson Solid. MathWorld.
VRML models of Johnson Solids （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Jim McNeill
VRML models of Johnson Solids （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Vladimir Bulatov

[1] Johnson, Norman W. Convex Solids with Regular Faces. Canadian Journal of Mathematics. 1966, 18: 169–200. ISSN 0008-414X. Zbl 0132.14603. doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .

[2] Zalgaller, Victor A. Convex Polyhedra with Regular Faces. Zap. Nauchn. Semin. Leningr. Otd. Mat. Inst. Steklova. 1967, 2: 1–221. ISSN 0373-2703. Zbl 0165.56302 （俄语）.

[Robert_R_Tupelo-Schneck_conditional_edges-3] Robert R Tupelo-Schneck. Convex regular-faced polyhedra with conditional edges. [2023-01-31]. （原始内容存档于2021-08-18）.

[article_timofeenko2009junction-4] Timofeenko, Aleksei Victorovich. Junction of noncomposite polygons. Algebra i Analiz (St. Petersburg Department of Steklov Institute of Mathematics, Russian~…). 2009, 21 (3): 165–209.

[5] D. Eppstein（英语：David Eppstein）. Three Untetrahedralizable Objects. www.ics.uci.edu. [2022-05-25]. （原始内容存档于2021-01-26）.

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