费曼斜线标记

在研究量子场论的狄拉克场时，理查德·费曼发明了方便的费曼斜线标记（英语：Feynman slash notation，有时也叫狄拉克斜线标记，但不常用）。

若A为共变向量（即1-形式），则使用了费曼斜线标记的A的定义为：

$A\!\!\!/\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{\mu }A_{\mu }$

上式使用了爱因斯坦求和约定，其中γ为狄拉克矩阵.

恒等式

透过使用狄拉克矩阵的反对易关系，可以证明任何$a_{\mu }$与$b_{\mu }$满足

$a\!\!\!/a\!\!\!/=a^{\mu }a_{\mu }=a^{2}$

$a\!\!\!/b\!\!\!/+b\!\!\!/a\!\!\!/=2a\cdot b\,$。

特别是，

$\partial \!\!\!/^{2}=\partial ^{2}$。

透过直接将狄拉克矩阵恒等式中的度量张量换成内积则可得出更多的恒等式。例如，

$\operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/)=4a\cdot b$

$\operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]$

$\operatorname {tr} (\gamma _{5}a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4i\epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }$

$\gamma _{\mu }a\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2a\!\!\!/$.

$\gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/\gamma ^{\mu }=4a\cdot b\,$

$\gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2c\!\!\!/b\!\!\!/a\!\!\!/\,$

其中

$\epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }\,$为列维-奇维塔符号。

在四维动量上

很多时候，为计算出截面而解狄拉克方程时，会发现四维动量上出现费曼斜线标记：

使用$\gamma \,$的狄拉克基表示

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}\,$

以及四维动量的定义

$p_{\mu }=\left(E,-p_{x},-p_{y},-p_{z}\right)\,$

可明确地得出

${\begin{aligned}p\!\!/&=\gamma ^{\mu }p_{\mu }=\gamma ^{0}p_{0}-\gamma ^{i}p_{i}\\&={\begin{bmatrix}p_{0}&0\\0&-p_{0}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{i}p_{i}\\-\sigma ^{i}p_{i}&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}E&-\sigma \cdot {\vec {p}}\\\sigma \cdot {\vec {p}}&-E\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

使用其他基也能得出相同的结果，例如外尔基。

另见

• 狄拉克矩阵

参考资料

• Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2.