麦卡托投影法

麦卡托世界地图（1569年）

以麦卡托投影法呈现的世界地图。

麦卡托投影法（英语：Mercator projection），又称麦卡托投影法、正轴等角圆柱投影，是一种等角的圆柱形地图投影法。

本投影法得名于法兰德斯(佛兰德)出身的地理学家杰拉杜斯·麦卡托，他于1569年发表长202公分、宽124公分以此方式绘制的世界地图。在以此投影法绘制的地图上，将地球在平面展开，经纬线于任何位置皆垂直相交，使世界地图可以绘制在一个长方形，地图的任一点在各种方向的长度均相等。由于可显示任两点间的正确方位，指出真实的经纬度，航海用途的海图、航路图大都以此方式绘制。在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变，从而可以保持大陆轮廓投影后的角度和形状不变（即等角）；但麦卡托投影会使面积产生变形，赤道地区变化最小，南北两极的变形最大，但因为在南北回归线之间影响很少，而这是多数航线所在区域，所以被广泛用来编制地图。

数学计算

地图上纵向方位（图中的横轴）和纬度（图中的纵轴）的关系。

下列公式在使用墨卡托投影的地图中，从纬度φ和经度λ（其中λ₀是本初子午线）推导为坐标系中的坐标x和y。

这是古德曼函数的逆推导：

${\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right)\\&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin(\varphi )}{1-\sin(\varphi )}}\right)\\&=\tanh ^{-1}\left(\sin(\varphi )\right)\\&=\sinh ^{-1}\left(\tan(\varphi )\right)\\&=\ln \left(\tan(\varphi )+\sec(\varphi )\right).\end{aligned}}$

这是古德曼函数：

${\begin{aligned}\varphi &=2\tan ^{-1}(e^{y})-{\frac {\pi }{2}}\\&=\tan ^{-1}(\sinh(y))\\\lambda &=x+\lambda _{0}.\end{aligned}}$

比例尺与纬度φ的正割成比例，越趋向极地（φ = ±90°）面积变形越大。此外，由公式可知，极点处的y值为正负无穷大。

公式推导

麦卡托投影是一种等角投影。

假设地球为正球形。（实际上并非为正球形，而是有扁率的，但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确，可插入等角纬线。）我们需要将经纬度坐标（λ, φ）转换为笛卡尔坐标(x, y)，求以赤道为基准的切柱面投影（即x = λ），并保持形状不变，故：

${\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}$

${\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=-\cos(\varphi ){\frac {\partial x}{\partial \varphi }}$

从 x = λ 可知

${\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=1$

${\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=0$

给出

$1=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}$

$0={\frac {\partial y}{\partial \lambda }}$

因此，y是φ的唯一函数，且可得到$y'=\sec \varphi$，由积分表

$y=\ln(|\sec(\varphi )+\tan(\varphi )|)+C.\,$

在地图中φ = 0得到y = 0，所以取C = 0.

以麦卡托投影法绘制的地图。

错觉

由于麦卡托投影在高纬度过分放大，低纬度又过分缩小，因此会产生有趣的错觉。比如世界第一大岛高纬度的格陵兰比澳洲看起来还大好几倍。世界第二大岛低纬度的新几内亚和日本差不多大小。然而新几内亚岛面积足足是日本的2倍。

以下是实际面积（单位：平方公里）

• 澳洲：7,692,024平方公里
• 格陵兰：2,166,086平方公里
• 日本：378,000平方公里
• 新几内亚岛：786,000平方公里

参见

• 地图学
• 地图投影
• 摩尔维特投影
• 海图
• 罗宾森投影
• 横轴墨卡托投影
• 通用横轴墨卡托投影（UTM）
• 高尔-彼得斯投影
• 南上北下地图
• 斜轴墨卡托投影
• Web墨卡托投影

参考资料

• Snyder, John P. Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. 1987. 可至USGS pages下载。
• Monmonier, Mark. Rhumb Lines and Map Wars. Chicago: The University of Chicago Press. 2004. 
• Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books Ltd.
• Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. Taipei: Caves Books Ltd.

• A Look at the Mercator Projection https://www.gislounge.com/look-mercator-projection/（页面存档备份，存于互联网档案馆）