麥卡托投影

麥卡托世界地圖（1569年）

以麥卡托投影法呈現的世界地圖

麥卡托投影（英語：Mercator projection，另稱正軸等角圓柱投影）是一種等角的圓柱形地圖投影法。其得名於法蘭德斯地理學家傑拉杜斯·麥卡托，他於1569年發表長202公分、寬124公分以此方式繪製的世界地圖。該地圖將地球在平面展開，經緯線於任何位置皆垂直相交，使地圖形成一個簡潔的長方形，地圖的任一點在各種方向的長度均相等。由於可顯示任意兩點間的正確方位及經緯度，航海用途的海圖、航路圖大都以此方式繪製。在該投影中線型比例尺在圖中任意一點周圍都保持不變，從而可以保持大陸輪廓投影後的角度和形狀不變（即等角）。

麥卡托投影的缺點是其會使高緯度地區面積變形失真，緯度越高變形越嚴重：赤道地區幾乎沒有變形問題，但接近南北極的高緯度地區（如格陵蘭）面積可被失真放大數倍之多。雖則如此，但因為大部份國際航線均位於南北回歸線之間的低緯度地帶，麥卡托投影法於該等區域中的變形程度尚算可接受，故仍被廣泛應用為目前世上最普及的地圖投影法。

數學計算

地圖上縱向方位（圖中的橫軸）和緯度（圖中的縱軸）的關係

下列公式在使用麥卡托投影的地圖中，從緯度φ和經度λ（其中λ₀是本初子午線）推導為坐標系中的坐標x和y。

這是古德曼函數的逆推導：

${\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right)\\&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin(\varphi )}{1-\sin(\varphi )}}\right)\\&=\tanh ^{-1}\left(\sin(\varphi )\right)\\&=\sinh ^{-1}\left(\tan(\varphi )\right)\\&=\ln \left(\tan(\varphi )+\sec(\varphi )\right).\end{aligned}}$

這是古德曼函數：

${\begin{aligned}\varphi &=2\tan ^{-1}(e^{y})-{\frac {\pi }{2}}\\&=\tan ^{-1}(\sinh(y))\\\lambda &=x+\lambda _{0}.\end{aligned}}$

比例尺與緯度φ的正割成比例，越趨向極地（φ = ±90°）面積變形越大。此外，由公式可知，極點處的y值為正負無窮大。

公式推導

麥卡托投影是一種等角投影

假設地球為正球形。（實際上並非為正球形，而是有扁率的，但製作小比例尺地圖時誤差可忽略不計。若需更精確，可插入等角緯線。）我們需要將經緯度坐標（λ, φ）轉換為笛卡爾坐標(x, y)，求以赤道為基準的切柱面投影（即x = λ），並保持形狀不變，故：

${\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}$

${\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=-\cos(\varphi ){\frac {\partial x}{\partial \varphi }}$

從 x = λ 可知

${\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=1$

${\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=0$

給出

$1=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}$

$0={\frac {\partial y}{\partial \lambda }}$

因此，y是φ的唯一函數，且可得到$y'=\sec \varphi$，由積分表

$y=\ln(|\sec(\varphi )+\tan(\varphi )|)+C.\,$

在地圖中φ = 0得到y = 0，所以取C = 0.

以麥卡托投影法繪製的地圖

錯覺

由於麥卡托投影會使高緯度地區面積嚴重失真變形，因此麥卡托地圖會令使用者對該等地區產生面積錯覺。比如地處北極圈的世界第一大島格陵蘭在麥卡托地圖上的面積堪比非洲大陸，但其實際面積事實上甚至略小於印度。地處赤道的世界第二大島新幾內亞在麥卡托地圖上的面積與和日本相若，但前者實際面積比後者大接近一倍。 以下是實際面積（單位：平方公里）

• 格陵蘭：2,166,086平方公里
• 印度：3,237,363平方公里
• 日本：378,000平方公里
• 新幾內亞島：786,000平方公里

參見

• 地圖學
• 地圖投影
• 莫耳維特投影
• 海圖
• 羅賓森投影
• 橫軸麥卡托投影
• 通用橫軸麥卡托投影（UTM）
• 高爾-彼得斯投影
• 南上北下地圖
• 斜軸麥卡托投影
• Web麥卡托投影

參考資料

• Snyder, John P. Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. 1987. 可至USGS pages下載。
• Monmonier, Mark. Rhumb Lines and Map Wars. Chicago: The University of Chicago Press. 2004. 
• Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books Ltd.
• Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. Taipei: Caves Books Ltd.

• A Look at the Mercator Projection ~ GIS Lounge. GIS Lounge. 2014-01-13 [2025-10-28]. （原始內容存檔於2018-03-22） （美國英語）.