上積

代數拓撲中，上積或杯積（cup product）是將兩個度為p和q的上循環聯接起來，形成度為p+q的複合循環的方法。這定義了上同調中的結合（與分散）分次交換積，將空間X的上同調轉變為分次環$H^{*}(X)$，稱作上同調環。上積由詹姆斯·韋德爾·亞歷山大、愛德華·切赫與哈斯勒·惠特尼於1935–1938年間提出，1944年塞繆爾·艾倫伯格給出了一般定義。

定義

奇異上同調中，上積構造給出了拓撲空間X的分次上同調環$H^{*}(X)$上的積。

構造始於上鏈之積：若$\alpha ^{p}$是p上鏈，且$\beta ^{q}$是q上鏈，則

$(\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})$

其中σ是奇異$(p+q)$-單純形，$S\subset \{0,1,...,p+q\}$, $\iota _{S}$ 是S張成的單純形規範嵌入$(p+q)$-單純形，後者的頂點索引為$\{0,...,p+q\}$。

非正式地，$\sigma \circ \iota _{0,1,...,p}$是σ的第p個正面（front face），$\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}$是σ的第q個背面（back face）。

上鏈$\alpha ^{p}$與$\beta ^{q}$的上積的上邊緣（coboundary）為

$\delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).$

兩個上循環的上積仍是上循環，上邊緣與上循環（任意順序）的積仍是上邊緣。上積在上同調中引入了雙線性運算

$H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).$

性質

上同調中的上積滿足以下特性

$\alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})$

因此相應的乘法是分次交換的。

上積的函子性體現在以下方面：若

$f\colon X\to Y$

是連續函數，

$f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)$

是上同調中的誘導同態，則

$f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),$

對$H^{*}(Y)$中所有類α、β。也就是說，f ^*是（分次）環同態。

解釋

可將上積$\smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)$視作由下面的組合誘導而來：

$\displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\to }}C^{\bullet }(X)$

以$X$與$X\times X$的鏈復形表示，其中第一個映射是克奈映射，第二個映射由對角$\Delta \colon X\to X\times X$誘導。

這個構成傳給商，便給出了良定義的上同調映射，這就是上積。這種方法解釋了上同調上積的存在，但沒有解釋同調上積：$\Delta \colon X\to X\times X$誘導了映射$\Delta ^{*}\colon H^{\bullet }(X\times X)\to H^{\bullet }(X)$，但還會誘導映射$\Delta _{*}\colon H_{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X\times X)$，後者與我們定義積的方法相反。不過，這在定義下積時是有用的。

上積的這種表達體現了雙線性，即$(u_{1}+u_{2})\smile v=u_{1}\smile v+u_{2}\smile v$；$u\smile (v_{1}+v_{2})=u\smile v_{1}+u\smile v_{2}.$

例子

上積可用來區分流形和具有相同上同調群的空間之楔。空間$X:=S^{2}\vee S^{1}\vee S^{1}$與環面T具有相同的上同調群，但具有不同的上積。在X的情況下，與 $S^{1}$相關的上鏈的乘法是退化的；而在T中，第一個上同調群中的乘法可用於將環面分解為2胞圖，從而使積等於Z（更一般地說是M，此處是基模）。

其他定義

上積與微分形式

在德拉姆上同調中，微分形式的上積由楔積導出。即，兩個閉微分形式的楔積屬於兩個原德拉姆類的上積的德拉姆類。

上積與幾何相交

環繞數可用鏈的補上的非零上積定義。這兩個鏈循環在 $\mathbb {R} ^{3}$變形中的補退化為環面和2球的楔和，其有度為1、不為零的上積。

對於定向流形，有幾何啟發式，即「上積與相交是對偶的」。

令$M$為$n$維定向光滑流形。若兩個余維分別是i、j的子流形$A,B$橫截着交，那麼它們的交$A\cap B$又是余維是i + j的子流形。將這些流形的基本同調類的像置於包含（inclusion）之中，就可以得到同調上的雙線性積，與上積是龐加萊對偶的，即取龐加萊對$[A]^{*},[B]^{*}\in H^{i},H^{j}$則有以下等式：

$[A]^{*}\smile [B]^{*}=[A\cap B]^{*}\in H^{i+j}(X,\mathbb {Z} )$.

同樣，環繞數也可用交來定義，將維數移動1，或者用鏈之補上的非零上積來定義。

梅西積

梅西積推廣了上積，允許定義「高階環繞數「，即米爾諾不變量。

主條目：梅西積

上積是二元運算。可以定義三元甚至多元的高階運算，稱作梅西積，是上積的推廣。它是一種高階上同調運算，目前只定義了一部分（只定義了部分三元運算）。

另見

• 奇異同調
• 同調
• 下積
• 梅西積

參考文獻

• James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback)
• Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3
• Allen Hatcher, "Algebraic Topology", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0