幾乎必然

維基百科,自由的百科全書
跳至導覽 跳至搜尋

概率論中,如果一個事件發生的概率為1,就說這個事件幾乎必然發生(有時候簡稱a.s.)。這個概念與測度中的幾乎處處是類似的。

在許多的基礎概率試驗中,幾乎必然必然是沒有區別的,但是在一些與無窮相關的較為複雜的情況下,它們之間的區別是很重要的。例如,這個術語在無限時間、規律性特性或者無窮維度空間(比如函數空間)中往往需要加以討論。基本的運用實例包括大數定律或者布朗運動的連續性。

幾乎從不描述的是幾乎必然的對立面,它是指一個事件發生的概率是零。

公式定義[編輯]

設(Ω, F, P)為一個概率空間。如果時間一個事件 (概率論) EF中滿足PE) = 1,我們說事件E 幾乎必然發生。同樣地,我麼說一個時間E幾乎必然發生如果E不發生的概率是0

測度理論的角度來看,它的一個等效定義是如果E = Ω 幾乎處處,則E幾乎必然發生。

「幾乎必然」對「必然」[編輯]

一個事件幾乎必然發生和必然發生之間的區別於某個事件發生的概率為1和它 總是發生之間細微的差別是類似的。

如果一個事件必然發生,則沒有其它結果可能出現。如果一個事件幾乎必然發生,則理論上存在出現其它結果的可能性,不過出現其它結果的概率小於任何正數,因此它的概率只能是0。因此,不能夠確定這些結果絕對不會出現,但是在大部分情況下可以認為它們不會出現。

扔飛鏢[編輯]

例如,想象一下宇宙中只有一個正方形,在一個單位正方形內扔飛鏢,並且飛鏢能夠精確覆蓋一個點。因此在物理上飛鏢沒有落入其它位置的可能性。那麼,「飛鏢落入正方形」這個事件就是一個必然事件,不可能有其它可能性發生。

接着考慮「飛鏢擊中正方形對角線」這個事件。飛鏢落入正方形中子區域的概率等於該子區域所占正方形面積的比例。但是,由於對角線的面積是0,因此飛鏢擊中對角線的概率是0.所以,飛鏢幾乎必然不會擊中正方形對角線。然而對角線的點的集合非空並且在擊中對角線上某個點的可能性不會比任何其它點的可能性小,因此理論上飛鏢擊中對角線是可能的。

對於正方形中的任意點也是如此,點P的面積為0,因而被飛鏢擊中的概率也是0.但是,飛鏢可以擊中正方形中的任意一點。因此如果這樣的話,概率為0的事件不但是可能發生的,而且必然會發生。於是,我們不會說我們確定某個既定事件不會發生,而是說幾乎確定

投擲硬幣[編輯]

假設反覆投擲一個假想的完全公平的硬幣。一個硬幣有正反兩面,因此事件「硬幣被拋到正面或者反面」是一個必然事件,因為不可能出現其它情況。

從某種意義上來說,全部都是正面的無限序列是可能的(它不違反任何數學或者物理定律),另外它是非常重要的。事實上,在一個無限序列中反面不出現的概率是0。因此,雖然我們不能夠說在無限次的投擲硬幣過程中,反面至少出現一次,但是我們可以說反面幾乎必然至少必然出現一次。

但是,如果我們在一個確定的時間後停止了投擲,假設是經過了100萬次投擲,這時全部都是正面序列的概率不是0,而是2−1,000,000,因此反面至少出現一次的概率是1 − 2−1,000,000 < 1,這個事件不再是幾乎必然的。

漸進幾乎必然[編輯]

在漸進分析中,如果一個序列集合的概率收斂於1,它被稱為具有漸進幾乎必然性asymptotically almost surely,簡稱a.a.s)。

參見[編輯]

外部連結[編輯]

  • Rogers, L. C. G.; Williams, David. Diffusions, Markov Processes, and Martingales 1. Cambridge University Press. 2000. 
  • Williams, David. Probability with Martingales. Cambridge University Press. 1991.