在數學中,有許多定理稱為單調收斂定理(英語:Monotone convergence theorem);這裡我們介紹一些主要的例子。
如果ak是一個單調的實數序列(例如ak ≤ ak+1),則這個序列具有極限(如果我們把正無窮大和負無窮大也算作極限的話)。當且僅當序列是有界的,這個極限是有限的。
我們證明如果遞增序列有上界,則它是收斂的,且它的極限為。
由於非空且有上界,因此根據實數的最小上界公理,存在,且是有限的。現在,對於每一個,都存在一個,使得,否則是的一個上界,這與為最小上界的事實矛盾。於是,由於是遞增的,對於所有的n > N,都有,因此根據定義,的極限為。證畢。
類似地,如果一個實數序列是遞減且有下界,則它的最大下界就是它的極限。
如果對於所有的自然數j和k,aj,k都是非負實數,且aj,k ≤ aj+1,k,則(參見[1]第168頁):
這個定理是前一個定理的推廣,也許就是最重要的單調收斂定理。
設( X, A, )為一個測度空間。若序列 為定義域是
,對應域是 的 -可測單調遞增函數序列。也就是說 ,有
- 。
接着,設序列 的逐點極限為 。也就是說
- 。
則 會是 -可測函數,且:
- 。(參見[2]第21.38節)
注意其積分值不一定是有限值,也就是左右兩邊可能都是無限大。
我們首先證明f是-可測函數。為此,只需證明區間[0,t]在f下的原像是X上的σ代數A的一個元素。設I為的一個子區間。那麼:
- 。
另一方面,由於[0,t]是閉區間,因此:
- 。
所以:
- 。
注意可數交集中的每一個集合都是A的一個元素,這是因為它是一個波萊爾子集在-可測函數下的原像。由於根據定義,σ代數在可數交集下封閉,因此這便證明了f是-可測的。需要注意的是,一般來說,任何可測函數的最小上界也是可測的。
現在我們證明單調收斂定理的餘下的部分。f是-可測的事實,意味着表達式是定義良好的。
我們從證明開始。
根據勒貝格積分的定義,
- ,
其中SF是X上的-可測簡單函數的交集。由於在每一個,都有,我們便有:
因此,由於一個子集的最小上界不能大於整個集合的最小上界,我們便有:
右面的極限存在,因為序列是單調的。
我們現在證明另一個方向的不等式(也可從法圖引理推出),也就是說,我們來證明:
從積分的定義可以推出,存在一個非負簡單函數的非遞減序列gn,它幾乎處處逐點收斂於f,且:
只需證明對於每一個,都有:
這是因為如果這對每一個k都成立,那麼等式左端的極限也將小於或等於等式右端。
我們證明如果gk是簡單函數,且
幾乎處處,則:
由於積分是線性的,我們可以把函數分拆成它的常數部分,化為是σ代數A的一個元素B的指示函數的情況。在這種情況下,我們假設是一個可測函數的序列,它在B的每一個點的最小上界都大於或等於一。
為了證明這個結果,固定,並定義可測集合的序列:
根據積分的單調性,可以推出對於任何的,都有:
根據的假設,對於足夠大的n,任何B內的x都將位於內,因此:
- 。
所以,我們有:
利用測度的單調性,可得:
取,並利用這對任何正數都正確的事實,定理便得證。
- ^ J Yeh. Real analysis. Theory of measure and integration. 2006.
- ^ Erik Schechter. 21.38. Analysis and Its Foundations. 1997.