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卡迪森-辛格問題

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數學上,卡迪森-辛格問題(英語:Kadison–Singer problem)於1959年提出,有關泛函分析[1],問某個特定C*-代數上的任意線性泛函,延拓到另一個較大的C*-代數時,是僅有唯一的可能,抑或可以有多個不同的延拓。2013年,問題得到解決,答案為肯定(即唯一)。

問題源出1940年代保羅·狄拉克量子力學理論基礎的研究。1959年,理查德·卡迪森英語Richard Kadison艾沙道爾·辛格[2]給出嚴格的問題敍述。此後,發現純數學、應用數學、工程學、電腦科學等學科的多個未解問題,皆與卡迪森-辛格問題等價。[3][4]卡迪森、辛格,以及日後多個作者,都相信問題答案為否定(即不唯一)[3][4],然而於2013年,亞當·馬庫斯英語Adam Marcus (mathematician)丹尼爾·斯皮爾曼英語Daniel Spielman尼基·斯里瓦斯塔瓦英語Nikhil Srivastava合著論文[5]給出肯定的答案。翌年,三人因此獲SIAM英語Society for Industrial and Applied Mathematics頒發波利亞獎英語George Pólya Prize[6]

馬-斯-斯三氏皆為電腦科學家,本來並非研究C*-代數。[1]:83馬庫斯甚至稱自己在解決該問題後,「仍無法用C*-代數的語言來描述它」[1]:86。解決問題的轉捩點,是喬爾·安德森(Joel Anderson)將其重寫成不牽涉C*-代數理論的等價形式。[1]:84安德森於1979年證明,其「鋪砌猜想」(英語:paving conjecture)與卡迪森-辛格問題等價。該猜想僅牽涉有限維希爾伯特空間的算子,而相比之下,原問題的空間則是無窮維。此後,亦有其他學者,如尼克·威佛(Nik Weaver),在有限維空間中,給出其他等價問法。威佛的版本吸引了馬-斯-斯三氏研究。[1]:85而此版本用交織多項式族(英語:interlacing family)獲解決。[7]

原問題敍述

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先引入若干定義:

平方可和的複序列空間英語Sequence space,即。此空間為可分希爾伯特空間,內積定義由給出。
連續線性算子組成的集合。此集合上,有加減法、乘法、伴隨等運算,構成一個C*-代數
的對角連續線性算子集合。換言之,包含於,故為其子C*-代數。
C*-代數上的英語state (functional analysis),是連續線性泛函,將單位元映到,且對任意半正定,有(即此時要取實值,且該實值為非負)。
純態
接續上項,稱為純態,意思是在上所有態組成的集合中,極端點英語Extreme point,即不能寫成其他態的凸組合

哈恩-巴拿赫定理上的任意泛函,必能延拓到上。卡迪森與辛格二人問,對於純態,此延拓是否唯一。所以,卡迪森-辛格問題是要證明或否證以下命題:

上的任意純態上都存在唯一的態,使延拓,即兩者限制時等同。

此命題已證為真。[5]

鋪砌猜想敍述

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卡迪森-辛格問題的答案為肯定,當且僅當以下鋪砌猜想為真:[8]

對任意的,存在正整數使得:對每個,以及對維希爾伯特空間上的每個線性算子(可視為方陣),若其對角線全零,則存在某種方法將分劃,使得

對於每個 都成立。

此處正交投影,將(坐標以為下標)映到坐標僅以元素為下標的子空間。換言之,是下標為元素的各行列,相交而得的子方陣。而矩陣範數取為譜範數,即來自歐氏範數算子範數

注意命題中,只能與有關,但不取決於

偏差敍述

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尼克·威佛(Nik Weaver)證明,以下「偏差理論英語discrepancy theory」命題,同樣與卡迪森-辛格問題(的肯定答案)等價:[9]

設有向量,滿足單位方陣),且對每個。則存在一種方法將分劃成兩個子集,使得對於都有

馬庫斯、斯皮爾曼、斯里瓦斯塔瓦三人用交織多項式族(英語:interlacing families)的技巧,證明上述命題為真。該命題又有以下推論:

設向量滿足(對所有),還有

對滿足的所有向量成立。

則可以將分劃成兩個子集,使得對,以及滿足的任意向量,皆有:

「偏差」一詞的含義,在較小時顯明:在單位球面上取值恆為二次型,可以分拆成兩個大致相等的二次型,而分拆出來的二次型在單位球面上各處的取值,離的偏差很小。利用命題此種形式,可以推導出關於分劃的若干結果。[7]

參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Erica Klarreich英語Erica Klarreich; 趙京(譯). 外行人破解困扰数学界50年的难题. 數學文化 (香港: 全球科學出版社). 2017, 8 (3): 82–86 [2021-10-16]. ISSN 2070-545X. (原始內容存檔於2021-10-19). 
  2. ^ Kadison, R.; Singer, I. Extensions of pure states [純態的延拓]. American Journal of Mathematics英語American Journal of Mathematics. 1959, 81 (2): 383–400. JSTOR 2372748. MR 0123922. doi:10.2307/2372748 (英語). 
  3. ^ 3.0 3.1 Casazza, P. G.; Fickus, M.; Tremain, J. C.; Weber, E. The Kadison–Singer problem in mathematics and engineering: a detailed account [數學與工程學的卡迪森-辛格問題:詳解]. Han, Deguang; Jorgensen, Palle E. T.; Larson, David Royal (編). Operator theory, operator algebras, and applications [算子理論、算子代數、應用]. Contemporary Mathematics 414. Providence, RI: American Mathematical Society. 2006: 299–355. ISBN 9780821839232. MR 2277219. arXiv:math/0510024可免費查閱. doi:10.1090/conm/414/07820 (英語). 
  4. ^ 4.0 4.1 Casazza, Peter G. Consequences of the Marcus/Spielman/Srivastava solution to the Kadison–Singer Problem [卡迪森-辛格問題的馬庫斯/斯皮爾曼/斯里瓦斯塔瓦解答的推論]. 2015. arXiv:1407.4768可免費查閱 [math.FA] (英語). 
  5. ^ 5.0 5.1 Marcus, Adam; Spielman, Daniel A.; Srivastava, Nikhil. Interlacing families II: Mixed characteristic polynomials and the Kadison–Singer problem [相交族之二:混合特徵多項式與卡迪森-辛格問題]. 2013. arXiv:1306.3969可免費查閱 [math.CO] (英語). 
  6. ^ Rob Knies. Conjecture Proof Leads to Pólya Prize [因證明猜想獲波利亞獎] (網誌). Microsoft Research Blog. 2014-07-09 [2021-10-16]. (原始內容存檔於2021-10-20) (英語). 
  7. ^ 7.0 7.1 Srivastava, Nikhil. Discrepancy, Graphs, and the Kadison–Singer Problem [偏差、圖、卡迪森-辛格問題] (網誌). Windows on Theory. July 11, 2013 [2021-10-16]. (原始內容存檔於2021-04-13) (英語). 
  8. ^ Anderson, Joel. Restrictions and representations of states on C∗-algebras [C*-代數上,態的限制與表示]. Transactions of the American Mathematical Society. 1979, 249 (2): 303–329 [2021-10-16]. JSTOR 1998793. MR 0525675. doi:10.2307/1998793. (原始內容存檔於2021-10-16) (英語). 
  9. ^ Weaver, Nik. The Kadison-Singer problem in discrepancy theory [偏差理論中的卡迪森-辛格問題]. Discrete Mathematics. 2004, 278 (1–3): 227–239. arXiv:math/0209078可免費查閱. doi:10.1016/S0012-365X(03)00253-X (英語). 

外部鏈結

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