卡迪森-辛格問題

數學上，卡迪森-辛格問題（英語：Kadison–Singer problem）於1959年提出，有關泛函分析，問某個特定C*-代數上的任意線性泛函，延拓到另一個較大的C*-代數時，是僅有唯一的可能，抑或可以有多個不同的延拓。2013年，問題得到解決，答案為肯定（即唯一）。

問題源出1940年代保羅·狄拉克對量子力學理論基礎的研究。1959年，理察·卡迪森與艾沙道爾·辛格給出嚴格的問題敍述。此後，發現純數學、應用數學、工程學、電腦科學等學科的多個未解問題，皆與卡迪森-辛格問題等價。卡迪森、辛格，以及日後多個作者，都相信問題答案為否定（即不唯一），然而於2013年，亞當·馬庫斯、丹尼爾·斯皮爾曼、尼基·斯里瓦斯塔瓦合著論文給出肯定的答案。翌年，三人因此獲SIAM頒發波利亞獎。

馬-斯-斯三氏皆為電腦科學家，本來並非研究C*-代數。馬庫斯甚至稱自己在解決該問題後，「仍無法用C*-代數的語言來描述它」。解決問題的轉捩點，是喬爾·安德森（Joel Anderson）將其重寫成不牽涉C*-代數理論的等價形式。安德森於1979年證明，其「鋪砌猜想」（英語：paving conjecture）與卡迪森-辛格問題等價。該猜想僅牽涉有限維希爾伯特空間的算子，而相比之下，原問題的空間則是無窮維。此後，亦有其他學者，如尼克·威佛（Nik Weaver），在有限維空間中，給出其他等價問法。威佛的版本吸引了馬-斯-斯三氏研究。而此版本用交織多項式族（英語：interlacing family）獲解決。

原問題敍述

先引入若干定義：

${\boldsymbol {\ell }}^{2}$

平方可和的複序列空間，即$\ell ^{2}=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ):x_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i}\left|x_{i}\right|^{2}<\infty \right\}$。此空間為可分希爾伯特空間，內積定義由$\langle x,y\rangle =\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}$給出。

${\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})$

從$\ell ^{2}$到$\ell ^{2}$的連續線性算子組成的集合。此集合上，有加減法、乘法、伴隨等運算，構成一個C*-代數。

${\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})$

從$\ell ^{2}$到$\ell ^{2}$的對角連續線性算子集合。換言之，$D(\ell ^{2})=\left\{\left.f:\ell ^{2}\to \ell ^{2}\right|f(x)=(a_{1}x_{1},a_{2}x_{2},\ldots ),{\text{ 其 中 }}a_{i}\in \mathbb {C} ,{\text{ 且 }}a_{i}{\text{ 有 界 }}\right\}$。$D(\ell ^{2})$包含於$B(\ell ^{2})$，故為其子C*-代數。

態

C*-代數$A$上的態，是連續線性泛函$\varphi :A\to \mathbb {C}$，將單位元$I$映到$1$，且對任意半正定的$T\geq 0$，有$\varphi (T)\geq 0$（即此時$\varphi (T)$要取實值，且該實值為非負）。

純態

接續上項，$\varphi$稱為純態，意思是在$A$上所有態組成的集合中，$\varphi$是極端點，即不能寫成其他態的凸組合。

由哈恩-巴拿赫定理，$D(\ell ^{2})$上的任意泛函，必能延拓到$B(\ell ^{2})$上。卡迪森與辛格二人問，對於純態，此延拓是否唯一。所以，卡迪森-辛格問題是要證明或否證以下命題：

對$D(\ell ^{2})$上的任意純態$\varphi$，$B(\ell ^{2})$上都存在唯一的態$\psi$，使$\psi$延拓$\varphi$，即兩者限制到$D$時等同。

此命題已證為真。

鋪砌猜想敍述

卡迪森-辛格問題的答案為肯定，當且僅當以下鋪砌猜想為真：

對任意的$\varepsilon >0$，存在正整數$k$使得：對每個$n$，以及對$n$維希爾伯特空間$\mathbb {C} ^{n}$上的每個線性算子$T$（可視為$n\times n$方陣），若其對角線全零，則存在某種方法將$\{1,\dots ,n\}$分劃為$k$份$A_{1},\dots ,A_{k}$，使得

$\|P_{A_{j}}TP_{A_{j}}\|\leq \varepsilon \|T\|$ 對於每個 $j=1,\ldots ,k$ 都成立。

此處$P_{A_{j}}$是正交投影，將$\mathbb {C} ^{n}$（坐標以$1,2,\ldots ,n$為下標）映到坐標僅以$A_{j}$元素為下標的子空間。換言之，$P_{A_{j}}TP_{A_{j}}$是下標為$A_{j}$元素的各行列，相交而得的子方陣。而矩陣範數$\|\cdot \|$取為譜範數，即來自$\mathbb {C} ^{n}$上歐氏範數的算子範數。

注意命題中，$k$只能與$\varepsilon$有關，但不取決於$n$。

偏差敍述

尼克·威佛（Nik Weaver）證明，以下「偏差理論」命題，同樣與卡迪森-辛格問題（的肯定答案）等價：

設有向量$u_{1},\ldots ,u_{m}\in \mathbb {C} ^{d}$，滿足$\sum _{i=1}^{m}u_{i}u_{i}^{*}=I$（$d\times d$單位方陣），且對每個$i$，$\|u_{i}\|_{2}^{2}\leq \delta$。則存在一種方法將$\{1,\ldots ,m\}$分劃成兩個子集$S_{1}$和$S_{2}$，使得對於$j=1,2$都有

$\left\|\sum _{i\in S_{j}}u_{i}u_{i}^{*}\right\|\leq {\frac {\left(1+{\sqrt {2\delta }}\right)^{2}}{2}}.$

馬庫斯、斯皮爾曼、斯里瓦斯塔瓦三人用交織多項式族（英語：interlacing families）的技巧，證明上述命題為真。該命題又有以下推論：

設向量$v_{1},\ldots ,v_{m}\in \mathbb {R} ^{d}$滿足$\|v_{i}\|_{2}^{2}\leq \alpha$（對所有$i$），還有

$\sum _{i=1}^{m}\langle v_{i},x\rangle ^{2}=1$ 對滿足$\|x\|=1$的所有向量$x\in \mathbb {R} ^{d}$成立。

則可以將$\{1,\ldots ,m\}$分劃成兩個子集$S_{1}$、$S_{2}$，使得對$j=1,2$，以及滿足$\|x\|=1$的任意向量$x\in \mathbb {R} ^{d}$，皆有：

$\left|\sum _{i\in S_{j}}\langle v_{i},x\rangle ^{2}-{\frac {1}{2}}\right|\leq 5{\sqrt {\alpha }}.$

「偏差」一詞的含義，在$\alpha$較小時顯明：在單位球面上取值恆為$1$的二次型，可以分拆成兩個大致相等的二次型，而分拆出來的二次型在單位球面上各處的取值，離$1/2$的偏差很小。利用命題此種形式，可以推導出關於圖分劃的若干結果。

外部鏈結

• Nicholas J. A. Harvey. An introduction to the Kadison–Singer Problem and the Paving Conjecture [卡迪森-辛格問題與鋪砌猜想的介紹] (PDF). 2013-07-11 [2021-10-16]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-10-21） （英語）. 
• 陶哲軒. Real stable polynomials and the Kadison-Singer problem [實穩定多項式與卡迪森-辛格問題] (網誌). 2013-11-04 [2021-10-16]. （原始內容存檔於2022-01-19） （英語）.