商空間 (線性代數)

在線性代數中，一個向量空間V關於子空間N的商是將N「坍塌」為零得到的向量空間。所得的空間稱為商空間（quotient space），記作V/N（讀作：V模N）。

定義

正式地，此構造如下(Halmos 1974，§21-22)。設V是域K上的一個向量空間，且N是V的一個子空間。我們定義在V上定義一個等價關係~，如果x − y ∈ N則令x ~ y。即如果其中一個加上N中一個元素得到另一個，則x與y相關。x的所在等價類通常記作

[x] = x + N，

因為它由

[x] = {x + n : n ∈ N}給出。

那麼商空間V/N定義為V/~，V在~下所有等價類集合。等價類上的數乘與加法定義為

• α[x] = [αx]對所有α ∈ K，以及
• [x] + [y] = [x+y]。

不難驗證這些運算是良定義的（即與代表元之選取無關）。這些運算將商空間V/N轉化為K上一個向量空間，N成為零類[0]。相對應的，商映射即定義為v ∈ V與等價類[v]之映射

例子與性質

令X = R²為標準笛卡兒平面，Y是X中過原點的一條直線。則商空間X/Y可與X中與Y平行的所有直線等價。這就是講，集合X/Y的元素是X中平行於Y的元素。要注意的是，X,Y是集合而不是單一的向量，如果W表示向量(0,1)的線性生成空間,那麼X/W = [0,1]。[0,1]作為一個等價類,包括了諸如 x = 1, x = 2等等的直線。從另一方面來講，如果W表示向量(1,0)的線性生成空間,那麼X/W = [1,0]，包括了諸如y = 1, y = -1等等的直線。

另一個例子是Rⁿ被前m個標準基向量張成的子空間的商。空間Rⁿ由所有實數n-元組 (x₁,…,x_n)組成。子空間，與R^m等價，由只有前m元素是非零 (x₁,…,x_m,0,0,…,0)的所有n-元組組成。Rⁿ的兩個向量在模去這個子空間的同一個共軛類中當且僅當他們的後n − m個坐標相等。商空間Rⁿ/ R^m顯然地同構於R^n−m。

更一般地，如果V寫成子空間U與W的一個（內部）直和：

$V=U\oplus W$

則商空間V/U自然同構於W (Halmos 1974，Theorem 22.1)。

如果U是V的一個子空間，U在V中的餘維數定義為V/U的維數。如果V是有限維的，這就是V與U的維數之差(Halmos 1974，Theorem 22.2)：

$\mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).$

從V到商空間V/U有一個自然滿射，將x映到它的等價類[x]。這個滿射的核（或零空間）是子空間U。此關係簡單地總結為短正合序列

$0\to U\to V\to V/U\to 0.\,$

令T : V → W是一個線性算子。T的核，記作ker(T)，是所有x ∈ V使得Tx = 0的集合。核是V的一個子空間。線性代數第一同構定理說商空間V/ker(T)同構於V在W中的像。一個直接推論，對有限維空間的秩-零化度定理：V的維數等於核的維數（T的零化度）加上像的維數（T的秩）。

線性算子T : V → W的余核定義為商空間W/im(T)。

巴拿赫空間的商空間

如果X是一個巴拿赫空間而M是X的一個閉子空間，則商X/M仍是一個巴拿赫空間。上一節已經給出商空間一個向量空間結構。我們定義X/M上一個範數為

$\|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}.$

商空間X/M關於此範數是完備的，所以是一個巴拿赫空間。

例子

令C[0,1]表示區間[0,1]上連續實值函數的巴拿赫空間。記所有函數f ∈ C[0,1]使得f(0) = 0的子空間為M。則某個函數g的等價類由它在0點的值決定，商空間C[0,1]/M同構於R。

如果X是一個希爾伯特空間，則商空間X/M同構於M的正交補。

推廣到局部凸空間

局部凸空間被一個閉子空間商還是局部凸的(Dieudonné 1970，12.14.8)。事實上，假設X是局部凸的所以X上的拓撲由一族半範數{p_α|α∈A}生成，這裡A是一個指標集。設M是一個閉子空間，定義X/M上半範數q_α為

$q_{\alpha }([x])=\inf _{x\in [x]}p_{\alpha }(x).$

則X/M是一個局部凸空間，上面的拓撲是商拓撲。

進一步，若X是可度量化的，則 X/M也是；如果X是弗雷歇空間，X/M(Dieudonné 1970，12.11.3)也是。

相關條目

• 商集合
• 商群
• 商模
• 拓撲學之商空間

參考文獻

• Halmos, Paul, Finite dimensional vector spaces, Springer, 1974, ISBN 978-0387900933 .
• Dieudonné, Jean, Treatise on analysis, Volume II, Academic Press, 1970 .