奧珀曼猜想

未解決的數學問題：每個大於一的完全平方數和矩形數之間是否至少有一個質數？

奧珀曼猜想是數學上關於質數分布的一個懸而未決的問題。^[1]該猜想與勒讓德猜想、安德里卡猜想以及布羅卡猜想等密切相關但較強。該猜想以丹麥數學家盧茲維·奧珀曼（英語：Ludvig Oppermann）的名字命名，因為他在1877年3月在一篇未出版的講稿中提及此猜想。^[2]

陳述

該猜想指稱，對於任意的 $x>1$ 而言，至少有一個質數存在於 $x(x-1)$ 和 $x^2$ 之間，且至少有一個質數存在於 $x^2$ 和 $x(x+1)$ 之間。

該猜想也可等價地表述為「素數計數函數對這些區間的端點必須取不等號」，^[3]也就是說，對於任意的 $x>1$ 而言有：

π(x^2-x) < π(x^2) < π(x^2+x)

其中 $π(x)$ 指的是小於等於 $x$ 的質數個數。

這兩個區間的端點是介於兩個矩形數之間的完全平方數，其中的兩個矩形數是一對三角形數的兩倍。兩個三角形數的和是完全平方數。

後果

若該猜想為真，那麼質數間隙的大小如下：

g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}\,

而這也表示在 $x^2$ 和 $(x+1)^2$ 之間至少有兩個質數，其中之一在 $x^2$ 和 $x(x+1)$ 之間，另一個在 $x(x+1)$ 和 $(x+1)^2$ 之間，而這比勒讓德猜想的此區間中至少有一個質數來得強；類似地，由於任意兩個奇質數間至少有一個非質數的事實之故，因此從該猜想也可導出布羅卡猜想，而布羅卡猜想指的是兩個奇質數的平方之間，至少有四個質數；^[1]不僅如此，該猜想也意味著如安德里卡猜想所言的一般，兩個相鄰質數的最大間隙，至多只能這些數的平方根的兩倍成正比。

該猜想也意味著在質數螺旋的每四分之一個旋轉上，都至少有一個質數。

現狀

即使對小的 $x$ 而言，此猜想範圍內的質數數量都遠超過一，這為此猜想提供了強力的證據；然而截至2024年^[update]為止，該猜想都尚未得到證明。^[1]

參見

參考資料

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Wells, David, Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons: 164, 2011, ISBN 9781118045718 .
^ Oppermann, L., Om vor Kundskab om Primtallenes Mængde mellem givne Grændser, Oversigt over Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger og Dets Medlemmers Arbejder, 1882: 169–179 [2024-01-08], （原始內容存檔於2023-01-21）
^ Ribenboim, Paulo, The Little Book of Bigger Primes, Springer: 183, 2004, ISBN 9780387201696 .

[wells-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Wells, David, Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons: 164, 2011, ISBN 9781118045718 .

[2] Oppermann, L., Om vor Kundskab om Primtallenes Mængde mellem givne Grændser, Oversigt over Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger og Dets Medlemmers Arbejder, 1882: 169–179 [2024-01-08], （原始內容存檔於2023-01-21）

[3] Ribenboim, Paulo, The Little Book of Bigger Primes, Springer: 183, 2004, ISBN 9780387201696 .

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