奥珀曼猜想

未解决的数学问题：每个大于一的完全平方数和矩形数之间是否至少有一个质数？

奥珀曼猜想是数学上关于质数分布的一个悬而未决的问题。^[1]该猜想与勒让德猜想、安德里卡猜想以及布罗卡猜想等密切相关但较强。该猜想以丹麦数学家卢兹维·奥珀曼（英语：Ludvig Oppermann）的名字命名，因为他在1877年3月在一篇未出版的讲稿中提及此猜想。^[2]

陈述

该猜想指称，对于任意的 $x>1$ 而言，至少有一个质数存在于 $x(x-1)$ 和 $x^2$ 之间，且至少有一个质数存在于 $x^2$ 和 $x(x+1)$ 之间。

该猜想也可等价地表述为“素数计数函数对这些区间的端点必须取不等号”，^[3]也就是说，对于任意的 $x>1$ 而言有：

π(x^2-x) < π(x^2) < π(x^2+x)

其中 $π(x)$ 指的是小于等于 $x$ 的质数个数。

这两个区间的端点是介于两个矩形数之间的完全平方数，其中的两个矩形数是一对三角形数的两倍。两个三角形数的和是完全平方数。

后果

若该猜想为真，那么质数间隙的大小如下：

g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}\,

而这也表示在 $x^2$ 和 $(x+1)^2$ 之间至少有两个质数，其中之一在 $x^2$ 和 $x(x+1)$ 之间，另一个在 $x(x+1)$ 和 $(x+1)^2$ 之间，而这比勒让德猜想的此区间中至少有一个质数来得强；类似地，由于任意两个奇质数间至少有一个非质数的事实之故，因此从该猜想也可导出布罗卡猜想，而布罗卡猜想指的是两个奇质数的平方之间，至少有四个质数；^[1]不仅如此，该猜想也意味着如安德里卡猜想所言的一般，两个相邻质数的最大间隙，至多只能这些数的平方根的两倍成正比。

该猜想也意味着在质数螺旋的每四分之一个旋转上，都至少有一个质数。

现状

即使对小的 $x$ 而言，此猜想范围内的质数数量都远超过一，这为此猜想提供了强力的证据；然而截至2024年^[update]为止，该猜想都尚未得到证明。^[1]

参见

参考资料

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Wells, David, Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons: 164, 2011, ISBN 9781118045718 .
^ Oppermann, L., Om vor Kundskab om Primtallenes Mængde mellem givne Grændser, Oversigt over Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger og Dets Medlemmers Arbejder, 1882: 169–179 [2024-01-08], （原始内容存档于2023-01-21）
^ Ribenboim, Paulo, The Little Book of Bigger Primes, Springer: 183, 2004, ISBN 9780387201696 .

[wells-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Wells, David, Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons: 164, 2011, ISBN 9781118045718 .

[2] Oppermann, L., Om vor Kundskab om Primtallenes Mængde mellem givne Grændser, Oversigt over Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger og Dets Medlemmers Arbejder, 1882: 169–179 [2024-01-08], （原始内容存档于2023-01-21）

[3] Ribenboim, Paulo, The Little Book of Bigger Primes, Springer: 183, 2004, ISBN 9780387201696 .

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