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平面剛體運動

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平面剛體運動,是一種在平面上進行的幾何變換.反射變換和旋轉變換等幾何變換都有一個共同特點,即所謂「保距性」.也就是說,對於平面內任意兩點P、Q,在反射(或某種幾何變換)下對應的點是P'和Q',那麼P'到Q'的距離,就等於PQ的距離.借用物理學上的剛體一詞,我們把這種變換叫做:平面剛體運動.

定義

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設α是一個平面,映射

m:平面α→平面α

是一個一一映射,若m保持平面α內任意兩點間的距離不變,則稱m是一個平面剛體運動.[1]

解釋

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下面我們對上述定義做一個簡單解釋.任意一個平面剛體運動m:平面α→平面α都滿足以下4條:

  1. 對於平面α內的任意一點P,在平面α內存在唯一的一點P'與之對應,記作P'=m(P),P'叫做P在m作用下的
  2. 任取平面α內的一點P',存在平面α內的唯一一點P,使得P'是P在變換m作用下的象;
  3. 任取平面α內的兩點P1、P2,如果P1≠P2,那麼它們的象也是不同的,即:m(P1)≠m(P2);
  4. 任取平面α內的兩點P、Q,它們在m下的象是P'和Q',即:P'=m(P),Q'=m(Q),那麼|P'Q'|=|PQ|,即點P',Q'之間的距離與點P,Q之間的距離相等.

平移旋轉反射是三種最常見的平面剛體運動.[2]

性質

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保持距離不變是m的一個很強的性質。通過這一性質我們可以證明:只要知道不共線的三點A,B,C在m下的象A',B',C',m就完全確定下來了

命題1

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平面剛體運動

m:平面α→平面α

將平面α內的直線映射成直線,射線映射成射線,線段映射成等長的線段。

證明:令l是平面α內的任意一條直線,設m把l上所有的點映到點集l'.在l上任取兩點A,B,設m把它們分別映射到A',B'.下面證明l'是過A',B'的直線.在AB上任取一點C,設m把點C映射到點C'.

  1. 當點C在AB之間時,由平面剛體運動的定義得:|A'C'|+|CB|=|AC|+|CB|=|AB|=|A'B'|,所以點C'在線段A'B'上.
  2. 當點C在AB的延長線上時,我們有:|A'B'|+|B'C'|=|AB|+|BC|=|AC|=|A'C'|,所以B'在線段A'C'上,即點C'在線段A'B'的延長線上.
  3. 同理可證,當點C在BA的延長線上時,點C'在線段B'A'的延長線上.

綜上所述,由點A,B,C的任意性可知,l'是一條直線

證畢.[3]

命題2

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三角形在平面剛體運動的作用下,形狀和大小都保持不變.

證明:設△ABC是平面α內的任意一個三角形,由已證明題可知,平面剛體運動

m:平面α→平面α

把線段AB,BC,AC依次映射成線段A'B',B'C',A'C',而且AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'.

由於AB+BC>AC,故A'B'+B'C'>A'C',所以AB,BC,CA,構成了一個以A,B,C為頂點的三角形,而且△ABC與△ABC全等.

證畢.

用類似的方法可證得:在平面剛體運動m的作用下,正n邊形的大小和形狀都保持不變.

特殊

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m:平面α→平面α

是一個平面剛體運動,若在平面α內至少存在一個點O,點O在m的作用下保持不動,即m(O)=O,我們稱m為有不動點的平面剛體運動.可以證明:只有反射變換和旋轉變換是有不動點的平面剛體變換.[4]

參考資料

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  1. ^ 張英伯; 宋莉莉. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 6. ISBN 978-7-107-18021-7. 
  2. ^ 張英伯; 宋莉莉. 平面刚体的对称群. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 7. ISBN 978-7-107-18021-7. 
  3. ^ 張英伯; 宋莉莉. 平面刚体的对称群. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 8. ISBN 978-7-107-18021-7. 
  4. ^ 張英伯; 宋莉莉. 附录二. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 49. ISBN 978-7-107-18021-7.