拉回叢
外觀
數學上,拉回叢(pullback bundle)或導出叢(induced bundle)是纖維叢理論中的常見構造。令 π : E → B為以F為纖維的纖維叢,並令f : B′ → B為任意連續映射。則,f自然地誘導出一個纖維叢 π′ : f*E → B′,它也以F為纖維。大致來講,只需要說在點x的纖維是在點f(x)的纖維就可以了;然後用不交並將所有纖維合起來。
如果要更形式化一些,可以定義
投影映射π′ : f*E → B′由下式給出
到第二個因子的投影給出了一個映射滿足如下交換圖:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e3/PullbackBundle-01.png)
若{Ui, φi)為一E的局部平凡化,則(f−1Ui, ψi)是f*E的局部平凡化,其中
然後,f*E就是B′上以F為纖維的纖維叢了。f*E稱為拉回叢或由f誘導的叢。映射是覆蓋f的叢的一個態射。
若叢E → B有結構群 G,其變換函數為tij,則拉回叢f*E也有結構群G。f*E中的變換函數為
若E → B是向量叢或主叢則拉回叢f*E也是同類的叢。在主叢的情況,G在f*E上的作用為
因此,映射是右等變的,並定義了一個主叢間的態射。
用範疇論的語言,拉回叢的構造是更一般的範疇拉回的一個例子。因此,它滿足相應的泛性質。
叢和層
[編輯]叢的拉回是很直接的,所以叢是本質上逆變的。與此形成對比的是,一個層是本質上協變的:其直接的構造是層的直接像。雖然每個叢都有一個截面的層,其變化是相反的。這個分歧在很多領域是一個好處。但是必須注意層的直接像相對於叢而言沒有一個閉屬性。取層的直接像經常可能導致產生一個不是'叢的截面'類型的新層。
因此,叢的前推的概念雖然不是沒有,而且實際上很重要,但這個概念產生的對象可能在一般情況下不是叢。
參考
[編輯]- R.W. Sharpe, Differential Geometry, Springer-Verlag (1997). ISBN 0-387-94732-9
- 誘導叢(英文) (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), PlanetMath