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拉回叢

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數學上,拉回叢(pullback bundle)或導出叢(induced bundle)是纖維叢理論中的常見構造。令 π : EB為以F為纖維的纖維叢,並令f : B′ → B為任意連續映射。則,f自然地誘導出一個纖維叢 π′ : f*EB′,它也以F為纖維。大致來講,只需要說在點x的纖維是在點f(x)的纖維就可以了;然後用不交並將所有纖維合起來。

如果要更形式化一些,可以定義

投影映射π′ : f*EB′由下式給出

到第二個因子的投影給出了一個映射滿足如下交換圖:

若{Ui, φi)為一E局部平凡化,則(f−1Ui, ψi)是f*E的局部平凡化,其中

然後,f*E就是B′上以F為纖維的纖維叢了。f*E稱為拉回叢f誘導的叢。映射是覆蓋f的叢的一個態射。

若叢EB結構群 G,其變換函數為tij,則拉回叢f*E也有結構群Gf*E中的變換函數為

EB向量叢主叢則拉回叢f*E也是同類的叢。在主叢的情況,Gf*E上的作用

因此,映射是右等變的,並定義了一個主叢間的態射。

範疇論的語言,拉回叢的構造是更一般的範疇拉回的一個例子。因此,它滿足相應的泛性質

叢和層

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叢的拉回是很直接的,所以叢是本質上逆變的。與此形成對比的是,一個是本質上協變的:其直接的構造是層的直接像。雖然每個叢都有一個截面的層,其變化是相反的。這個分歧在很多領域是一個好處。但是必須注意層的直接像相對於叢而言沒有一個閉屬性。取層的直接像經常可能導致產生一個不是'叢的截面'類型的新層。

因此,叢的前推的概念雖然不是沒有,而且實際上很重要,但這個概念產生的對象可能在一般情況下不是叢。

參考

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