振盪 (數學)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/LimSup.svg/300px-LimSup.svg.png)
數學中,函數或序列的振盪是用於量化序列或函數在接近無窮大或某一點時,其極值之間的變化程度的數字。與極限類似,有好幾種定義將這一隻管概念轉化為適合數學處理的形式:實數序列的振盪、實值函數在一點的振盪,以及函數在區間(或開集)上的振盪。
定義
[編輯]序列的振盪
[編輯]令為實數序列。則序列的振盪可定義為的上下極限之間的差(可能是無窮大):
- .
當且僅當序列收斂時,振盪為零。若、都等於+∞或−∞,即序列趨近於+∞或−∞,則稱振盪未定義。
開集函數的振盪
[編輯]令為實變量的實值函數,則在區間上的振盪是的上下確界之差:
更一般地說,若是拓撲空間(如度量空間)上的函數,則在開集上的振盪為
函數在一點的振盪
[編輯]實變函數在處的振盪定義為在的鄰域上的振盪在時的極限:
這等同於函數在處的上下極限之差,前提是不被排除在極限之外。
更一般地說,若是度量空間上的實值函數,則振盪為
示例
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/The_function_sin%281_over_x%29.svg/220px-The_function_sin%281_over_x%29.svg.png)
- 在處有無窮大的振盪,其他地方均為0。
- (拓撲學家正弦曲線)在處的振盪為2,其他地方均為0。
- 在所有有限的處的振盪均為0,在−∞、+∞處為2。
- (1, -1, 1, -1, 1, -1...)的振盪為2。
最後一例的序列是周期的,而任何周期(非常值)序列的振盪必不是0。不過,非零振盪無法推出周期性。
從幾何角度看,實數振盪函數的圖形會沿着xy平面上的某條路徑運行,而不會收斂到越來越小的區域。在良態情況下,路徑可能看起來像一個循環,即周期性行為;在最糟糕的情況下,則是覆蓋整個區域的非常不規則的運動。
連續性
[編輯]振盪可以用來定義函數的連續性,並且很容易等價於通常的ε-δ定義(對於定義在實線各處的函數):當且僅當振盪為0時,函數ƒ在x0處連續;[1]用符號表示為這個定義的好處在於量化了不連續性:振盪給出了函數在某點的不連續程度。
例如,在間斷點的分類中有:
- 可去間斷點的函數偏移值等于震蕩;
- 跳躍間斷點的函數跳躍值等于震蕩(假設該點的值位於兩側極限之間);
- 第二類間斷點中,振盪衡量了極限不存在的程度。
描述集合論中,這個定義有助於研究間斷點和連續點的集合:連續點是振盪小於ε的集合的交集(於是是Gδ集),並給出了勒貝格可積條件一個方向的快速證明。[2]
通過簡單的重排和極限(上極限和下極限)來定義振盪,可以等價於ε-δ定義:若(在某點)對給定的ε0,沒有能滿足ε-δ條件的δ,則振盪大於等於ε0;反之,若對每個ε都有能滿足的δ,則振盪為0。振盪定義可以自然地推廣到從拓撲空間到度量空間的映射。
推廣
[編輯]更一般地,設f : X → Y是拓撲空間X到度量空間Y的函數,則f的振盪可定義在每個x ∈ X:
另見
[編輯]參考文獻
[編輯]- ^ Introduction to Real Analysis (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), updated April 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, p. 172
- ^ Introduction to Real Analysis (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), updated April 2010, William F. Trench, 3.5 "A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral", pp. 171–177
閱讀更多
[編輯]- Hewitt and Stromberg. Real and abstract analysis
. Springer-Verlag. 1965: 78. ISBN 9780387901381.
- Oxtoby, J. Measure and category 4th. Springer-Verlag. 1996: 31–35. ISBN 978-0-387-90508-2.
- Pugh, C. C. Real mathematical analysis
. New York: Springer. 2002: 164–165. ISBN 0-387-95297-7.